Question

Найти количество корней уравнения на отрезке

Answer 1

2) 2

Объяснение:

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀

Answer 2

Уравнение  на  отрезке  [  -π/2  ;  π/2 ]  имеет два корня

x₁ =  -π/4

x₂ =   π/4

Объяснение:

Найдите количество корней уравнения

cos² 3x + cos² x  = 1 + 1/2 · cos6x   на отрезке  [  -π/2  ;  π/2 ]

Воспользуемся формулой понижения степени

$\boldsymbol{ \cos ^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2} }$

Подставим  в исходное уравнение

$\cos ^2 3x = \dfrac{1 + \cos 6x }{2}$

$\displaystyle \dfrac{1 + \cos 6x }{2} + \cos ^2 x = 1 + \dfrac{1}{2} \cos 6x \frac{1}{2} + ~~ \Bigg \slash \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\dfrac{1}{2} \cos 6x + \cos ^2 x = 1 + ~~ \Bigg \slash \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\dfrac{1}{2} \cos 6x \cos ^2 x = \frac{1}{2} ~~ \big |\cdot 2 2\cos ^2 x - 1= 0$

$\bullet ~~ \boldsymbol{1 -2\cos ^2 x = \cos 2x}$

$\cos 2 x =0 2x = \cfrac{\pi }{2} + \pi n x=\cfrac{\pi }{4} + \cfrac{\pi n}{2} ~, ~ n \in \mathbb Z$

Находим корни принадлежащие отрезку

$\left [ -\dfrac{\pi }{2 } ~ ; ~ \dfrac{\pi }{2} ~ \right ]$

При  n = -2

$x = \dfrac{\pi }{4} -\pi = -\dfrac{3\pi }{4} ~~ \varnothing$

При   n = -1

$x_1=\cfrac{\pi }{4} - \cfrac{\pi }{2 } = -\dfrac{\pi }{4} ~~\checkmark$

При  n = 0

$x_2=\cfrac{\pi }{4} - \cfrac{0}{2 } = \dfrac{\pi }{4} ~~\checkmark$

При  n = 1

$x=\cfrac{\pi }{4} + \cfrac{\pi }{2 } = \dfrac{3\pi }{4} ~~\varnothing$

Выходит , что на данном отрезке уравнение имеет два корня