Question

Найдите функцию y(x), удовлетворяющую дифференциальному уравнению
и такую что y(1)=1
В ответе укажите значение найденной Вами функции в точке

Answer 1

4

Объяснение:

Проверим, является ли левая часть полным дифференциалом некоторой функции u(x, y). Пусть P = x²y² + y, Q = 2x³y - x. Левая часть является полным дифференциалом, если $\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$:

$\dfrac{\partial P}{\partial y}=2x^2y+1,\dfrac{\partial Q}{\partial x}=6x^2y-1$

Левая часть не является полным дифференциалом. Подберём интегрирующий множитель $t=t(x)$ такой, чтобы при домножении на него обеих частей уравнения выполнялось равенство $\dfrac{\partial}{\partial y}(P\cdot t)=\dfrac{\partial}{\partial x}(Q\cdot t)$, то есть левая часть стала полным дифференциалом. Так как мы ищем функцию от x, при дифференцировании по y мы считаем её, как константу:

$\dfrac{\partial P}{\partial y}\cdot t=\dfrac{\partial Q}{\partial x}\cdot t + \dfrac{dt}{dx}\cdot Q\\\dfrac{dt}{dx}\cdot Q=\dfrac{\partial P}{\partial y}\cdot t-\dfrac{\partial Q}{\partial x}\cdot t\\\dfrac{dt}{t}=\dfrac{\dfrac{\partial P}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial x}}{Q}dx\\\dfrac{dt}{t}=\dfrac{2x^2y+1-6x^2y+1}{2x^3y-x}dx\\\dfrac{dt}{t}=\dfrac{-4x^2y+2}{2x^3y-x}dx\\\dfrac{dt}{t}=-\dfrac{2dx}{x}\\\ln{|t|}=-2\ln|x|\\t=x^{-2}=\dfrac{1}{x^2}$

При домножении на t получаем:

$\left(y^2+\dfrac{y}{x^2}\right)dx+\left(2xy-\dfrac{1}{x}\right)dy=0$

Это уравнение в полных дифференциалах. Подберём функцию u(x, y) такую, что $du=0\Leftrightarrow u=C$. Из определения дифференциала функции двух переменных следует, что $Pt=y^2+\dfrac{y}{x^2}$ — частная производная по x. Тогда $\displaystyle u=\int {\dfrac{\partial u}{\partial x}}dx=\int \left(y^2+\dfrac{y}{x^2}\right)dx=xy^2-\dfrac{y}{x}+\varphi (y)$, где $\varphi (y)$ — константа, зависящая от y (поскольку функция была от двух переменных, а проинтегрировали мы только по x). Также из определения дифференциала:

$\dfrac{\partial u}{\partial y}=Qt\\2xy-\dfrac{1}{x}+\varphi'(y)=2xy-\dfrac{1}{x}\\\varphi'(y)=0\\\varphi(y)=C$

Тогда $u=xy^2-\dfrac{y}{x}+C$, решение уравнения: $xy^2-\dfrac{y}{x}=C$

При x = 1, y = 1 получаем C = 0. Выразим y через x:

$xy^2-\dfrac{y}{x}=0\\xy^2=\dfrac{y}{x}\\x^2y=1\\y=\dfrac{1}{x^2}$

В точке $x_1=-\dfrac{1}{2}$ значение функции равно 4.