Question

Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x)=2√x +x параллельна прямой y=2x

Answer 1

абсциссf   точки   х₀ = 1

Объяснение:

Прежде всего найдем уравнение касательной.

Уравнение касательной имеет вид

$y_k = y_0 + y'(x_0)(x - x_0)$

$\displaystyle y'=(2\sqrt{x} +x )'=\frac{1}{\sqrt{x} } +1$

Рассмотрим уравнение касательной  в точке х₀ (эту точку нам и надо найти)

$\displaystyle y_k = y_0 + y'(x_0)(x - x_0)y_k = y_0 + \bigg(\frac{1}{\sqrt{x_0} } +1\bigg)(x - x_0)$

Для того, чтобы две прямые были параллельны, необходимо,  чтобы в уравнениях прямых коэффициенты при х были бы равны.

У прямой у = 2х  коэффициент при х равен 2

У касательной коэффициент при х равен   $\displaystyle \bigg(\frac{1}{\sqrt{x_0} } +1\bigg)$

Приравняем коэффициенты и найдем х₀

$\displaystyle \bigg(\frac{1}{\sqrt{x_0} } +1\bigg)=2displaystyle \frac{1}{\sqrt{x_0} } =2-1frac{1}{\sqrt{x_0} } =1x_0=1$

Проверим.

Подставим  х₀ в формулу касательной.

$\displaystyle y'( x_0) = \frac{1}{\sqrt{1} } +1=2y(x_0)=2*\sqrt{1} +1 = 3y_k = 3+2(x-1)boldsymbol { y_k = 2x+1}$- это уравнение касательной в точке х₀=1.

И эта прямая ║ прямой у = 2х