Добрый день! Я рад помочь вам решить задачу. Давайте начнем с понимания, что такое квадратичная функция.
Квадратичная функция - это функция вида f(x) = ax^2 + bx + c, где a, b и c - это числа. В данной задаче у нас есть три квадратичные функции, и мы должны определить, когда они больше нуля, меньше нуля или равны нулю.
Для начала, нам понадобится эскиз графика каждой из функций, чтобы визуализировать их поведение на координатной плоскости. Давайте сначала решим неравенство a) 3х^2 + 2х - 1 > 0.
a) 3х^2 + 2х - 1 > 0:
1. Найдем вначале значения x, при которых функция равна нулю. Для этого поставим уравнение 3х^2 + 2х - 1 = 0 и решим его. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта D = b^2 - 4ac, чтобы найти корни уравнения.
D = (2)^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16
Корни уравнения найдутся по формуле x = (-b ± √D) / (2a), где D - дискриминант, a, b и c - коэффициенты уравнения. В нашем случае:
x = (-2 ± √16) / (2*3)
x1 = (-2 + 4) / 6 = 2/3
x2 = (-2 - 4) / 6 = -2/3
2. Теперь, чтобы построить эскиз графика функции, давайте найдем вершину параболы. Формула для координат вершины (x_0, y_0) имеет вид x_0 = -b / (2a), y_0 = f(x_0).
3. Теперь мы можем построить эскиз графика. Рисуем оси координат и отмечаем точку вершины параболы (-1/3, -5/3). Затем строим параболу, которая будет "открываться" вверх или вниз в зависимости от знака коэффициента a. В данном случае у нас a = 3, поэтому парабола будет "открываться" вверх.
4. Наконец, нам нужно определить, в каких интервалах ось x параболы находится выше (больше нуля) или ниже (меньше нуля) оси x. Для этого мы можем использовать значения x_1 и x_2, которые мы нашли ранее.
x_1 = 2/3
x_2 = -2/3
Ось x:
x < -2/3
-2/3 < x < 2/3
x > 2/3
Теперь мы можем ответить на вопрос неравенства:
a) 3х^2 + 2х - 1 > 0, когда x < -2/3 или x > 2/3.
Таким образом, решение неравенства a) 3х^2 + 2х - 1 > 0 заключается в интервалах x < -2/3 и x > 2/3.
Теперь перейдем к решению б) x^2 - 4 < 0.
б) x^2 - 4 < 0:
1. Найдем значения x, при которых функция равна нулю. Для этого поставим уравнение x^2 - 4 = 0 и решим его.
x^2 - 4 = 0
(x - 2)(x + 2) = 0
x - 2 = 0 или x + 2 = 0
x = 2 или x = -2
2. Теперь построим эскиз графика функции. Нам необходимо построить параболу, которая "открывается" вверх или вниз в зависимости от знака коэффициента a. В данном случае у нас a = 1, поэтому парабола будет "открываться" вверх.
3. Затем мы проверяем, в каких интервалах ось x параболы находится выше (больше нуля) или ниже (меньше нуля) оси x, используя значения x = -2 и x = 2.
x < -2
-2 < x < 2
x > 2
Таким образом, мы можем ответить на вопрос неравенства:
б) x^2 - 4 < 0, когда -2 < x < 2.
Итак, решение неравенства б) x^2 - 4 < 0 заключается в интервале -2 < x < 2.
Теперь перейдем к решению в) x^2 + 4 > 0.
в) x^2 + 4 > 0:
1. Найдем значения x, при которых функция равна нулю. Для этого поставим уравнение x^2 + 4 = 0 и решим его.
x^2 + 4 = 0
x^2 = -4
В данном случае решений нет! Квадраты всех действительных чисел неотрицательны, поэтому x^2 всегда больше или равно нулю.
2. Построим эскиз графика функции. Парабола будет стремиться к бесконечности вверх и никогда не пересечет ось x.
3. Таким образом, функция всегда больше нуля для всех значений x.
Итак, решение неравенства в) x^2 + 4 > 0 - это любое значение x.
Я надеюсь, что эта детальная информация и пошаговое решение помогли вам лучше понять, как решить данное неравенство с использованием эскиза графика. Если у вас есть какие-либо вопросы, пожалуйста, обратитесь ко мне.
А) Функция у = cos 2x задает график косинуса угла, увеличенного в два раза. Чтобы найти область определения (ОД) этой функции, нужно определить все значения, при которых функция существует.
Первое, что мы должны знать о функции косинуса, это то, что она определена для любого угла. В математике угол может быть измерен в радианах или градусах.
В данном случае, угол умножен на 2, значит, в угле вместо x будет 2x.
Теперь мы знаем, что область определения функции cos 2x не зависит от значения x. Ответом на данный вопрос будет вся числовая прямая R.
Б) Функция у = tg(x/2) задает график тангенса половинного угла. Чтобы найти область определения этой функции, мы должны учесть два факта:
1. Функция тангенса (tg) определена для любого угла, кроме тех, при которых косинус угла равен 0. Это происходит при значениях угла, кратных pi/2 (пи/2). То есть для всех значений x, кроме pi/2 + k*pi, где k - любое целое число.
2. Дополнительно, в данной функции угол x делится на 2, значит область определения будет в два раза меньше, чем у обычной функции тангенса.
Таким образом, чтобы найти ОД функции у = tg(x/2), нужно исключить значения x, которые делают косинус x/2 равным нулю. Ответом будет R, за исключением значений x, равных pi + 2k*pi, где k - любое целое число.
Область определения обоих функций:
А) ОД = R
Б) ОД = R, за исключением значений x, равных pi + 2k*pi, где k - любое целое число.
щеледкщкщкдкжедедедндн