Таким образом, дискриминант всегда равен 16. Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных действительных корня.
Для того, чтобы оба корня были больше 6, нам нужно рассмотреть значение дискриминанта в совокупности с условием x > 6 .Так как дискриминант всегда равен 16, корни будут больше 6 только в том случае, если само уравнение x^2 - 2ax + a^2 - 4 = 0имеет решения.
Таким образом, независимо от значения а, если уравнение x^2 - 2ax + a^2 - 4 = 0 имеет решения, то оба этих решения будут больше 6.
Первый корень подбираем как делитель свободного члена 81. Это могут быть числа При х=1 многочлен, стоящий в правой части равенства обращается в 0, поэтому х=1 - корень уравнения. Делим многочлен 4 степени на разность (х-1), должны получить многочлен 3 степени и в остатке 0. х^4-10x³+90x-81 | x-1 -(x^4-x³) | ---------------- ------------------ x³-9x²-9x+81 -9x³+90x-81 -(-9x³+9x²) ---------------------- -9x²+90x-81 -(9x²+9x) ------------------ 81x-8x 81x-81 ------------ 0 Можно записать разложение на множители многочлена 4 степени: x^4-10x³+90x-81=(x-1)(x³-9x²-9x+81) Теперь или опять подберём корень или разложим на множители многочлен 3 степени: x³-9x²-9x+81= x²·(x-9)-9·(x-9)=(x-9)(x²-9)=(x-9)(x-3)(x+3) Теперь запишем: x^4-10x³+90x-81=(x-1)(x-9)(x-3)(x+3)=0 x=1, x=9 , x=3 , x=-3.
Вначале проверяем, является ли x=1 - корнем уравнения. При подстановке убеждаемся, что является. Значит необходимо разделить исходный многочлен на многочлен (x-1), получается: (x - 1)(x^3 - 9x^2 + 26x - 24) = 0 Теперь необходимо найти корни x^3 - 9x^2 + 26x - 24 = 0 Опять проверяем на принадлежность к корню уравнения делители 24: +-1, +-2, +-3, и т.д. x = 2 - является корнем, делим многочлен на многочлен, получаем: (x - 1)(x - 2)(x^2 - 7x + 12) = 0 Остается найти корни квадратного уравнения: D=1 x=3, x=4 ответ: x=1, 2, 3, 4
Чтобы оба корня уравнения
x^2 - 2ax + a^2 - 4 = 0
были больше числа 6, нам нужно найти условия, при которых дискриминант этого уравнения положителен, а также оба корня больше 6.
Дискриминант уравнения
x^2 - 2ax + a^2 - 4 = 0
вычисляется по формуле
D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -2a, c = a^2 - 4. Подставим значения и упростим:
D = (-2a)^2 - 4* 1 * (a^2 - 4) = 4a^2 - 4(a^2 - 4) = 4a^2 - 4a^2 + 16 = 16
Таким образом, дискриминант всегда равен 16. Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных действительных корня.
Для того, чтобы оба корня были больше 6, нам нужно рассмотреть значение дискриминанта в совокупности с условием x > 6 .Так как дискриминант всегда равен 16, корни будут больше 6 только в том случае, если само уравнение x^2 - 2ax + a^2 - 4 = 0имеет решения.
Таким образом, независимо от значения а, если уравнение x^2 - 2ax + a^2 - 4 = 0 имеет решения, то оба этих решения будут больше 6.