Для нахождения первообразной функции , мы должны найти функцию , такую что ее производная равна исходной функции .
Итак, начнем с нахождения производной функции по x.
Рассмотрим каждое слагаемое отдельно:
1. Производная .
Используя правило дифференцирования степенной функции, получаем:
2. Производная .
Используя правило дифференцирования произведения функции на константу, получаем:
Теперь объединим результаты:
Теперь, чтобы найти первообразную функцию , мы должны найти такую функцию , производная которой равна .
Мы уже вычислили производную функции , поэтому можем записать:
Теперь интегрируем выражение слева и справа от знака равенства:
Известно, что интеграл производной функции равен исходной функции, поэтому получаем:
Далее, для упрощения интеграла, разделим его на две части:
Интегрируем каждую часть по отдельности:
1. Интеграл .
Используя правило замены переменной, где и , получаем:
Интеграл равен , поэтому:
, где - произвольная константа.
2. Интеграл .
Интегрируя константу, получаем:
, где - другая произвольная константа.
Теперь сложим оба интеграла:
Это и есть искомая первообразная функции .
Теперь перейдем ко второй части вопроса - касательной прямой к графику функции с уравнением .
Касательная прямая имеет общую точку с графиком функции , поэтому координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям. Для удобства, заменим на , а на (координаты общей точки):
Теперь приравняем оба уравнения и найдем значение :
Перепишем уравнение в виде:
Поскольку аналитическое решение этого уравнения в общем виде сложно найти, будем использовать численные методы (например, метод половинного деления или метод Ньютона), чтобы найти значение .
Таким образом, мы находим первообразную функции и находим значение путем решения уравнения.
Для того чтобы рассчитать длину стеклянной стены оранжереи, нам понадобится использовать информацию на плане квартиры.
Согласно плану, сторона клетки на плане равна 0,6 метра. Посмотрим на описание: "Длина прямоугольника, сделанного из клеток плана квартиры, равна двум клеткам, а ширина - 4 клеткам."
Из этого описания мы можем понять, что в действительности длина прямоугольника равна 2 * 0,6 метра, а ширина - 4 * 0,6 метра.
Таким образом, длина стеклянной стены - это длина одной из сторон прямоугольника. Рассчитаем ее:
Длина = 2 * 0,6 м = 1,2 метра
Ответ: Длина стеклянной стены оранжереи равна 1,2 метра.
Итак, начнем с нахождения производной функции
Рассмотрим каждое слагаемое отдельно:
1. Производная
Используя правило дифференцирования степенной функции, получаем:
2. Производная
Используя правило дифференцирования произведения функции на константу, получаем:
Теперь объединим результаты:
Теперь, чтобы найти первообразную функцию
Мы уже вычислили производную функции
Теперь интегрируем выражение слева и справа от знака равенства:
Известно, что интеграл производной функции равен исходной функции, поэтому получаем:
Далее, для упрощения интеграла, разделим его на две части:
Интегрируем каждую часть по отдельности:
1. Интеграл
Используя правило замены переменной, где
Интеграл
2. Интеграл
Интегрируя константу, получаем:
Теперь сложим оба интеграла:
Это и есть искомая первообразная функции
Теперь перейдем ко второй части вопроса - касательной прямой к графику функции
Касательная прямая имеет общую точку с графиком функции
Теперь приравняем оба уравнения и найдем значение
Перепишем уравнение в виде:
Поскольку аналитическое решение этого уравнения в общем виде сложно найти, будем использовать численные методы (например, метод половинного деления или метод Ньютона), чтобы найти значение
Таким образом, мы находим первообразную функции