Объяснение:
2^x^2 *2^(x-1) < 2^(3(*x/3 +3)), 2^(x^2+x-1) < 2^(x+9) ( ^-знак степени)
x^2+x-1<x+9, x^2 -10<0, (x-V10)*(x+V10)<0, + + + + + (-V10) - - - - -- (V10) ,
ответ (-V10; V10) (V-корень)
1) 11х = 36 - х
ОДЗ уравнения:
x ∈ ( -∞, ∞)
Делаем преобразование правой части уравнения:
36 - x = - ( x - 36)
Уравнение после преобразования:
11x = - (x - 36)
Упрощаем:
12x = 36
Сокращаем:
12(убираем)x = 12(убираем) * 3
x=3
2) 9х + 4 = 48 - 2х
ОДЗ уравнения:
x ∈ ( -∞, ∞)
Делаем преобразование правой части уравнения:
48 - 2x = -2 * (x - 24)
Уравнение после преобразования:
9x + 4 = -2 * (x - 24)
Упрощаем:
11x = 44
Сокращаем:
11(убираем)x = 11(убираем) * 4
x=4
3) 8 - 4х = 2х - 16
ОДЗ уравнения:
x ∈ ( -∞, ∞)
Делаем преобразование левой части уравнения:
8 - 4x = -4 * (x - 2)
Делаем преобразование правой части уравнения:
2x - 16 = 2 * (x - 8)
Уравнение после преобразования:
-4 * (x - 2) = 2 * (x - 8)
Упрощаем:
-6x = -24
Сокращаем:
-6(убираем)x = -6(убираем) * 4
x = 4
За остальным, если желаешь - в ЛС.
1. Знайдемо точки перетину функції з віссю Ox, тобто коли y = 0:
x^3 + 3x^2 = 0
x^2(x + 3) = 0
Отримуємо дві точки перетину: x = 0 і x = -3.
2. Дослідимо знак функції y = x^3 + 3x^2 на інтервалах, утворених точками перетину:
a) Для x < -3:
Виберемо, наприклад, x = -4. Підставимо його в функцію:
y = (-4)^3 + 3(-4)^2
= -64 + 48
= -16
Отже, на інтервалі (-∞, -3), функція приймає від'ємні значення.
b) Для -3 < x < 0:
Виберемо, наприклад, x = -2. Підставимо його в функцію:
y = (-2)^3 + 3(-2)^2
= -8 + 12
= 4
Отже, на інтервалі (-3, 0), функція приймає додатні значення.
c) Для x > 0:
Виберемо, наприклад, x = 1. Підставимо його в функцію:
y = 1^3 + 3(1)^2
= 1 + 3
= 4
Отже, на інтервалі (0, +∞), функція також приймає додатні значення.
3. Знайдемо точку екстремуму функції, де можливо змінюється її напрямок. Для цього обчислимо похідну функції:
y' = 3x^2 + 6x
Покладемо похідну рівну нулю і розв'яжемо рівняння:
3x^2 + 6x = 0
3x(x + 2) = 0
Отримуємо дві точки: x = 0 і x = -2.
a) При x = 0:
Підставимо x = 0 у функцію:
y = 0^3 + 3(0)^2
= 0
Отже, точка (0, 0) є можливою точкою екстремуму.
b) При x = -2:
Підставимо x = -2 у функцію:
y = (-2)^3 + 3(-2)^2
= -8 + 12
= 4
Отже, точка (-2, 4) також є можливою точкою екстремуму.
4. Дослідження меж функції:
З вищеперерахованих досліджень видно, що функція не має верхньої або нижньої межі, адже як x прямує до плюс нескінченності або мінус нескінченності, значення функції також буде рости або спадати.
5. Дослідження поведінки функції на відкритих інтервалах:
З досліджень пункту 2 видно, що функція є додатною на інтервалах (-3, 0) і (0, +∞), а від'ємною на інтервалі (-∞, -3). Вона має можливі точки екстремуму (0, 0) і (-2, 4).
Таким чином, функція y = x^3 + 3x^2 має точки перетину з віссю Ox в точках (0, 0) і (-3, 0), можливі точки екстремуму в точках (0, 0) і (-2, 4), і змінює знак з від'ємного на додатній на інтервалах (-3, 0) і (0, +∞).