Question

Решить предел через эквивалентные преобразования lim( ((cos(x))^(1/2)-1)/(sin(2x)^2) ) (x стремится к 0)

Answer 1

Lim (x→0) (√cosx - 1)/(sin²2x) = lim (x→0) [(√cosx - 1)(√cosx + 1)]/[(sin²2x)(√cosx + 1)] = lim (x→0) (cosx - 1)/[(sin²2x)(√cosx + 1)] = lim (x→0) (cosx - 1)/[(sin²2x)(√cosx +1)] = lim (x→0) (-2sin²(x/2))/[(4sin²xcos²x)(√cosx + 1)] = lim (x→0) (-2sin²(x/2))/[(16sin²(x/2)cos²(x/2)cos²x)(√cosx + 1)] = lim (x→0) -1/[(8cos²(x/2)cos²x)(√cosx + 1)] = 1/[8×1×1×(1+1)] = -1/16.

Короче говооя, мы сделали следующее:
• Умножили числитель и знаменатель на √cosx + 1;
• Свернули числитель в разность квадратов, а затем заменили его по формуле 1 - соsx = 2sin²(x/2);
• В знаменателе два раза воспользовались формулой синуса двойного угла;
• Сократили 2sin²(x/2) и вычислили предел.

Answer 2

$\lim_{x \to \00} \frac{ \sqrt{cos(x)}-1 }{sin^22x} = \lim_{x \to \00} \frac{ (\sqrt{(cos(x)}-1)(\sqrt{(cos(x)}+1) }{sin^22x*(\sqrt{(cos(x)}+1)}=$
$\lim_{x \to \00} \frac{ \cos(x)-1 }{sin^22x*(\sqrt{(cos(x)}+1)}= \frac{1}{2}\lim_{x \to \00} \frac{ 1- \frac{ x^{2} }{2!} -1 }{4x^2} =- \frac{1}{16}$