Question

Найдите сумму пяти первых членов прогрессии, если b5=81 и b3=36

Answer 1

Дано: $b_5=81;\,\,\,\, b_3=36$
Найти: $S_5$

   Решение:

Вычислим знаменатель геометрической прогрессии:
$\displaystyle q= \pm \sqrt[n-m]{ \frac{b_n}{b_m} } =\pm \sqrt[5-3]{ \frac{b_5}{b_3} } =\pm \sqrt{ \frac{81}{36} } =\pm1.5$

Первый член геометрической прогрессии можно вычислить так:
$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$ отсюда $b_1= \dfrac{b_n}{q^{n-1}} = \dfrac{b_5}{q^4} =16$

Cумма первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n= \dfrac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Вычислим сумму первых $5$ членов геометрической прогрессии в 2 случаях:

1) Для $q=1.5$;
                  $S_5= \dfrac{b_1(1-q^4)}{1-q} = \dfrac{16\cdot(1-1.5^4)}{1-1.5} =211$

2) Для $q=-1.5;$
                $S_5= \dfrac{b_1(1-q^4)}{1-q} = \dfrac{16\cdot(1-(-1.5)^4)}{1-(-1.5)} =55$

Answer 2

Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если b₅ = 81 и b₃ = 36.

$\displaystyle b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

Тогда:

$\displaystyle b_5=b_1\cdot q^{5-1}=b_1\cdot q^{4}$

$b_3=b_1\cdot q^{3-1}=b_1\cdot q^{2}$

b₅ = b₃ * q²

81 = 36 * q²

q² = 81/36

q = ± √(81/36)

q = ± 3/2 = ± 1,5

b₁ = b₃/q² = 36 : (9/4) = 36 × 4/9 = 16

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$\displaystyle S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$

$\displaystyle S_5=\frac{16(q^5-1)}{1,5-1}==\frac{16(\frac{243}{32} -1)}{1,5-1}=\frac{16*\frac{211}{32} }{0,5}=\frac{211}{1} =211$

$\displaystyle S_5=\frac{16((-1,5)^5-1)}{-1,5-1}=\frac{-\frac{3^{5} }{2}-16 }{-2,5} =\frac{243 +32}{5}=55$

ответ: 211 и 55

Answer 3

S₅=55 или S₅=211

Объяснение:

Формула нахождения n-члена геометрической прогрессии через первый член $\tt b_{1}$ и знаменатель q имеет вид:

$\displaystyle \tt b_{n}= b_{1} \cdot q^{n-1}.$

Тогда из $\displaystyle \tt b_{5}= b_{1} \cdot q^{5-1}=b_{1} \cdot q^{4}=81$ и $\displaystyle \tt b_{3}= b_{1} \cdot q^{3-1}=b_{1} \cdot q^{2}=36$ получим:

$\displaystyle \tt \frac{b_{1} \cdot q^{4}}{b_{1} \cdot q^{2}} = \frac{81}{36} \Leftrightarrow q^{2} = \frac{9}{4} \Leftrightarrow q = \pm \frac{3}{2}=\pm 1,5$  и

$\displaystyle \tt b_{1} \cdot q^{2}=36 \Leftrightarrow b_{1} \cdot \frac{9}{4} = 36 \Leftrightarrow b_{1} = 16.$

Формула суммы первых n-членов геометрической прогрессии через первый член $\tt b_{1}$ и знаменатель q имеет вид:

$\displaystyle \tt S_{n} = \frac{b_{1} \cdot (q^{n}-1)}{q-1} .$

На основе известных данных получим.

a) q=-1,5:

$\displaystyle \tt S_{5} = \frac{b_{1} \cdot (q^{5}-1)}{q-1} = \frac{16 \cdot ((-1,5)^{5}-1)}{-1,5-1} =\frac{16 \cdot (-7,59375-1)}{-2,5} =\\\\= \frac{16 \cdot (-8,59375)}{-2,5} = \frac{-137,5}{-2,5} = 55;$

b) q= 1,5:

$\displaystyle \tt S_{5} = \frac{b_{1} \cdot (q^{5}-1)}{q-1} = \frac{16 \cdot (1,5^{5}-1)}{1,5-1} =\frac{16 \cdot (7,59375-1)}{0,5} =\\\\= \frac{32 \cdot 6,59375}{1} = \frac{211}{1} = 211.$