Question

Решить : sinx*siny*sinz представит в виде суммы

Answer 1

В решении использую формулы:
1.$Sin \alpha Sin \beta = \frac{1}{2}(Cos( \alpha - \beta )-Cos( \alpha + \beta ))$
2.$Cos \alpha =Sin( \frac{ \pi }{2} - \alpha )$
(Ассоциативность *)
$Sinx*Siny*Sinz=(Sinx*Siny)Sinz=\\ =\frac{1}{2}(Cos(x-y)-Cos(x+y))Sinz$
(Из дистрибутивности * заскладываем на составляющие и считаем по отдельности)
$Cos(x-y)Sinz=Sin(\frac{ \pi }{2}-(x-y))Sinz=\\ = \frac{1}{2} (Cos(\frac{ \pi }{2}-(x-y)-z)-Cos(\frac{ \pi }{2}-(x-y)+z))=\\ =\frac{1}{2} (Cos(\frac{ \pi }{2}-(x-y+z))-Cos(\frac{ \pi }{2}-(x-y-z)))=\\ =\frac{1}{2} (Sin(x-y+z)-Sin(x-y-z)).$
Итого:
$Cos(x-y)Sinz=\frac{1}{2} (Sin(x-y+z)-Sin(x-y-z))$
Подобным считаем $Cos(x+y)Sinz$  и получаем:
$Cos(x+y)Sinz=\frac{1}{2} (Sin(x+y+z)-Sin(x+y-z))$
Теперь, всё выражение:
$\frac{1}{2}(Cos(x-y)-Cos(x+y))Sinz=$$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} (Sin(x-y+z)-Sin(x-y-z))$$-\frac{1}{2} (Sin(x+y+z)-Sin(x+y-z))$
$= \frac{1}{4} (Sin(x-y+z)-Sin(x-y-z)$$-Sin(x+y+z)+Sin(x+y-z))$