Question

С1 решить уравнение (1/2)sin2x+sin^2x-sinx=cosx и указать корни уравнения на отрезке [-2π; -π/2]

Answer 1

$\tt \frac{1}{2} \sin 2x+\sin^2x-\sin x=\cos x\\ \\ \frac{1}{2} \cdot 2\sin x\cos x+\sin^2x-\sin x-\cos x=0\\ \\ \sin x\cos x+\sin^2x-\sin x-\cos x=0\\ \\ \sin x(\cos x+\sin x)-(\cos x+\sin x)=0\\ \\ (\cos x+\sin x)(\sin x-1)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

$\tt \sin x+\cos x=0$ (*)

При х=π/2 имеет 1=0 - не верно, значит имеем право разделить левую и правую части уравнения (*) на cosx≠0.

$\tt tgx=-1\\ \\ \boxed{\tt x=-\frac{\pi}{4} +\pi n,n \in \mathbb{Z}}\\ \\ \sin x-1=0\\ \sin x=1\\ \\ \boxed{\tt x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,k \in \mathbb{Z}}$

Отбор корней на отрезке [-2π;-π/2].

1. Если n=-1, то $\boxed{\tt x=-\frac{\pi}{4} -\pi =-\frac{5\pi}{4}}$

2. Если k=-1, то $\boxed{\tt x=\frac{\pi}{2} -2\pi =-\frac{3\pi}{2}}$

Answer 2

$\dfrac{1}{2} sin2x+sin^2x-sinx=cosx\\ \dfrac{1}{2} \cdot 2sin xcosx+sin^2x-sin x - cos x =0\\ sinx(cosx + sinx) - (sinx + cos x) = 0\\ (sinx - 1)(cos x + sin x) = 0\\ 1)~~sin x - 1 = 0; ~~~sin x = 1; ~~~ \boxed {x_1 = \dfrac{\pi}{2}+2\pi n, n \in Z} \\$

$2)~~ cos x + sin x = 0; ~~~\big| \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\\dfrac{\sqrt{2}}{2}cos x + \dfrac{\sqrt{2}}{2}sinx = 0 \\ \\ sin\dfrac{\pi}{4}\cdot cosx +cos\dfrac{\pi }{4} \cdot sin x=0\\ \\ sin(x+\dfrac{\pi }{4})=0\\ \\ x+\dfrac{\pi }{4}=\pi k;~~\boxed{x_2=-\dfrac {\pi }{4}+\pi k,k \in Z}$

Kорни уравнения на отрезке [-2π;-π/2]. Выбор корней на единичной окружности.

x₁ = -3π/2; x₂ = -5π/4;