1.Натуральное число делится на 10 без остатка только в том случае,
если оно оканчивается на нуль. Если последняя цифра натурального числа
не 0, то число на 10 без остатка не делится.
2.Натуральное число делится на 5 без остатка в том случае,
если оно оканчивается на 0 или на 5.
Если последняя цифра натурального числа не 0 и не 5,
то число на 5 без остатка не делится.
3.Если последняя цифра в записи натурального числа четная
(2, 4, 6, 8) или 0 , то это число делится на 2 без остатка.
Если последняя цифра натурального числа нечетная
(1, 3, 5, 7, 9), то число на 2 без остатка не делится.
ответ: 1) -1; 2) 1.
Объяснение:
1) При x⇒0 выражение в скобках представляет собой неопределённость вида ∞-∞. Приводя обе дроби к общему знаменателю, получаем в скобках выражение -sin²(x)/[x*(x+sin²(x))]=-sin(x)/x*sin(x)/[x+sin²(x)]. Предел первого множителя есть ни что иное, как взятый со знаком "минус" первый замечательный предел, поэтому предел этого множителя равен -1. Ко второму множителю sin(x)/[x+sin²(x)] применим правило Лопиталя. Находя производные числителя и знаменателя, получаем выражение cos(x)/[1+2*sin(x)*cos(x)]=cos(x)/[1+sin(2*x)]. Предел этого выражения при x⇒0 равен 1, поэтому искомый предел равен -1*1=-1.
2) Выражение, предел которого нужно найти, при x⇒+0 представляет собой неопределённость вида ∞⁰. Так как при x⇒0 бесконечно малые величины sin(x) и x эквивалентны, то при вычислении предела можно заменить одну на другую. В данном случае заменим sin(x) на x, и тогда выражение, предел которого нужно найти, примет вид y=(1/x)ˣ. Взяв натуральный логарифм от этого выражения, получим выражение z=x*ln(1/x)=ln(1/x)/[1/x]. Полагая теперь 1/x=t, получим выражение z=ln(t)/t. Так как при x⇒0+ t⇒∞, то это выражение представляет собой неопределённость вида ∞/∞, для раскрытия которой применим правило Лопиталя. Производная числителя [ln(t)]'=1/t, производная знаменателя t'=1, поэтому предел выражения lim[ln(t)/t]=lim(z) при t⇒∞ равен 0/1=0. А так как z=ln(y), то lim(z)=ln[lim(y)], откуда lim(y)=e^lim(z)=e^0=1.
