Question

Найдите точку минимума функции (x-2)^2(2x+3)+5

Answer 1

$y=(x-2)^2(2x+3)+5;\\ y'=2(x-2)(2x+3)+2(x-2)^2=2(x-2)(2x+3+x-2)=\\ =2(x-2)(3x+1)=2(3x^2-6x+x-2)=2(3x^2-5x-2)=\\ =6x^2-10x-4;\\ y'=0;\\ D=10^2+4\cdot6\cdot4=100+96=196=14^2;\\ x_1=\frac{10-14}{12}=\frac{-4}{12}=-\frac{1}{3};\\ x_2=\frac{10=14}{12}=\frac{24}{12}=12;\\$
или
$y=(x-2)^2(2x+3)+5=(x^2-4x+4)(2x+3)+5=\\ =2x^3+3x^2-8x^2-12x+8x+12+5=\\ =2x^3-5x^2-4x+17;\\ y'=6x^2-10x-4;\\ D=10^2+4\cdot6\cdot4=100+96;\\ x_1=\frac{10-14}{12}=-\frac{1}{3};\\ x_2=\frac{10+14}{12}=2;\\$
$y'(x)<0 \ \ \ x\in(-\frac{1}{3};2);\\ y'(x)0 \ \ \ x\in(-\infty;-\frac{1}{3})\bigcup(2;+\infty);\\$
x=2 - точка локального минимума
y(2)=(2-2)^2(2·2+3)+5=0^2·7+5=0+5=5;