Для того чтобы решить это выражение, нам понадобится знание основных тригонометрических соотношений и формул.
Давайте разберем каждое слагаемое по отдельности и посмотрим, как их можно упростить.
1. Sin4a. Для начала, мы знаем так называемую формулу двойного угла для синуса. Она выглядит так: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ). В нашем случае, мы можем применить эту формулу к sin(4a). Получим: sin(4a) = 2sin(2a)cos(2a).
2. Sin6a. Аналогично для sin(6a) можно использовать формулу двойного угла. Получим: sin(6a) = 2sin(3a)cos(3a).
3. Cos2a. Здесь нам понадобится формула половинного угла для косинуса. Она выглядит так: cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ). Применим эту формулу к cos(2a). Получим: cos(2a) = cos²(a) - sin²(a).
Теперь давайте разберемся с каждым слагаемым отдельно и упростим выражение.
1. 2sin(2a)cos(2a) упрощается до sin(4a). Это было получено ранее.
2. -2sin(3a)cos(3a). Здесь нам может пригодиться формула суммы углов для синуса: sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β). Применим эту формулу для 3a и упростим: -2sin(3a)cos(3a) = sin(3a - 3a) = sin(0) = 0.
3. (cos²(a) - sin²(a)). Здесь можем использовать формулу потребности для косинуса: cos²(θ) = 1 - sin²(θ). Получим: (cos²(a) - sin²(a)) = 1 - sin²(a) - sin²(a) = 1 - 2sin²(a).
4. (cos²(2a) - sin²(2a)). Воспользуемся той же формулой потребности для косинуса: cos²(θ) = 1 - sin²(θ). Получим: (cos²(2a) - sin²(2a)) = 1 - sin²(2a) - sin²(2a) = 1 - 2sin²(2a).
5. (cos²(3a) - sin²(3a)). Снова формула потребности для косинуса: cos²(θ) = 1 - sin²(θ). Получим: (cos²(3a) - sin²(3a)) = 1 - sin²(3a) - sin²(3a) = 1 - 2sin²(3a).
Таким образом, итоговое упрощенное выражение будет:
----------------------------------------------------------------