Question

Найдите первый член и знаменатель прогрессии, если известно, что b4-b2= - 45/32 и b6-b4 = - 45/512

Answer 1

$1) q =\frac{1}{4} ,b{_1}=6;\\\\2) q =-\frac{1}{4} ,b{_1}=-6.$

Объяснение:

$b{_4}-b{_2} =-\frac{45}{32} ; b{_6}-b{_4} =-\frac{45}{512} .$

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии  и составим систему уравнений:

$b{_n}=b{_1} *q^{n-1} ;\\\\\left \{ \begin{array}{lcl} {{b{_1} *q^{3} -b{_1}*q=-\frac{45}{32} ,} \\\\ {b{_1}* q^{5} -b{_1}* q^{3} =-\frac{45}{512}; }} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{ \begin{array}{lcl} {{b{_1}*q*( q^{2}- 1)=-\frac{45}{32}, } \\\\ {b{_1} *q^{3} * (q^{2}-1) =-\frac{45}{512} .}} \end{array} \right.$

Разделим почленно второе уравнение на первое и получим:

$q^{2} = - \frac{45}{512} : (-\frac{45}{32} );\\\\q^{2} = \frac{32}{512} ;\\\\q^{2} =\frac{1}{16} ;\\\\\left [ \begin{array}{lcl} {{q=\frac{1}{4} ,} \\ \\{q=-\frac{1}{4} }} \end{array} \right.$

Найдем первый член прогрессии

при  $q=\frac{1}{4}$

$b{_1}* \frac{1}{4} *((\frac{1}{4} )^{2} -1)=-\frac{45}{32} ;\\\\b{_1}* \frac{1}{4} *(\frac{1}{16} -1)=-\frac{45}{32} ;\\\\b{_1}* \frac{1}{4} *(- \frac{15}{16} )=-\frac{45}{32} ;\\\\b{_1} *(- \frac{15}{64} )=-\frac{45}{32} ;\\\\b{_1} = -\frac{45}{32} :(-\frac{15}{64} );\\\\b{_1} =\frac{45*64}{32*15} ;\\\\b{_1}=6.$

при $q=-\frac{1}{4}$

$b{_1}* (-\frac{1}{4} )*((-\frac{1}{4} )^{2} -1)=-\frac{45}{32} ;\\\\b{_1}* (-\frac{1}{4} )*(\frac{1}{16} -1)=-\frac{45}{32} ;\\\\b{_1}* (-\frac{1}{4}) *(- \frac{15}{16} )=-\frac{45}{32} ;\\\\b{_1} * \frac{15}{64} =-\frac{45}{32} ;\\\\b{_1} = -\frac{45}{32} :\frac{15}{64} ;\\\\b{_1} =-\frac{45*64}{32*15} ;\\\\b{_1}=-6.$

Answer 2

При имеющихся исходных данным возможно 2 ответа:

1) b₁ = 6; q = 1/4;

1) b₁ = -6; q = -1/4;

Объяснение:

Член геометрической прогрессии с номером n вычисляется по формуле

$b_{n} = b_{1} \cdot q^{n-1}$

b₄ - b₂ = b₁ · q³ - b₁· q  = b₁q(q² - 1)

b₆ - b₄ = b₁ · q⁵ - b₁· q³  = b₁q³(q² - 1)

По условию

b₁q(q² - 1) = -45/32    (1)

b₁q³(q² - 1) = -45/512    (2)

Преобразуем выражение (2)

b₁q³(q² - 1) = b₁q(q² - 1) · q²

В численном виде это можно записать как

-45/512 = -45/32 ·  q²

Откуда

q² = -45/512 : (-45/32)

q² = 1/16

q = ±1/4

Подставим q = 1/4 в выражение (1)

$\dfrac{b_{1}}{4}\cdot \Big (\dfrac{1}{16} -1 \Big )= - \dfrac{45}{32}$

$\dfrac{b_{1}}{4}\cdot \Big (-\dfrac{15}{16} \Big )= - \dfrac{45}{32}$

$\dfrac{-15b_{1}}{64} = -\dfrac{45}{32}$

0.5b₁ = 3

b₁ = 6

Подставим q = -1/4 в выражение (1)

$-\dfrac{b_{1}}{4}\cdot \Big (\dfrac{1}{16}-1 \Big )= - \dfrac{45}{32}$

$-\dfrac{b_{1}}{4}\cdot \Big (-\dfrac{15}{16} \Big )= - \dfrac{45}{32}$

$\dfrac{15b_{1}}{64} = -\dfrac{45}{32}$

0.5b₁ = -3

b₁ = -6

Проверка:

1) b₁ = 6; q = 1/4

b₂ = 6 ·  1/4 = 3/2

b₄ = 6 · 1/64 = 3/32

b₄ - b₂ = 3/32  - 3/2 = -45/32

b₆ = 6 ·  1/1024 = 3/512

b₆ - b₄ = 3/512  - 3/32 = -45/512

2) b₁ = -6; q = -1/4

b₂ = -6 ·  (-1/4) = 3/2

b₄ = -6 · (-1/64) = 3/32

b₄ - b₂ = 3/32  - 3/2 = -45/32

b₆ = -6 ·  (-1/1024) = 3/512

b₆ - b₄ = 3/512  - 3/32 = -45/512