Находим наибольшее значение выражения 2x²-4xy+y², если х-у=3
1) Выражаем переменную у через х: x-y=3 y=x-3
2) Подставляем найденное значение переменной у в выражение 2x²-4xy+y²: 2x²-4xy+y²=2x²-4x(x-3)+(x-3)²=2x²-4x²+12x+x²-6x+9=-x²+6x+9 Получили функцию у=-x²+6x+9
3) y(x)=-x²+6x+9 - парабола, оси вниз, т.к. а=-1<0, поэтому наибольшим значением данной функции будет ордината вершины параболы. Находим вершину: х(вер.)=-6/(2*(-1))=-6/(-2)=3 - абсцисса вершины у(вер.)=-3²+6*3+9=-9+18+9=18 - ордината вершины у(наиб.)=18
2) R=22 R=x(max)-x(min) Т.к. разности двух любых известных чисел ряда никогда не будут равны 22, то очевидно, что неизвестный член ряда х будет принимать либо минимальное, либо максимальное значение.Рассмотрим два эти случая: а) х=х(min), тогда х(max)=8 б) x=x(max), тогда x(min)=-12 8-x=22 x-(-12)=22 x=8-22 x+12=22 x=-14 x=22-12 x=10 Вывод: х=-14 или х=10
3) Mо=-4 Мода числового ряда - это наиболее часто повторяющееся число ряда. Т.к. в представленном ряду известные числа не повторяются, а мода равна -4, значит число -4 повторяется 2 раза. Следовательно наш х=-4
Область определения может иметь ограничения в трех случаях:
1) Если в функции есть дробь, то знаменатель не может быть равен 0.
2) Если в функции есть корень четной степени, то выражение под ним не может быть меньше 0.
3) Если в функции есть логарифм, то выражение под ним должно быть больше 0, и основание тоже больше 0 и не равно 1.
Теперь решаем сами примеры.
1) y = x^2 - 3x - 4
Ограничений, перечисленных во вступлении, нет, поэтому
Область определения D(X) = R = (-oo; +oo)
Вершина параболы находится в точке M0(x0; y0)
x0 = -b/(2a) = 3/2; y0 = (3/2)^2 - 3*3/2 - 4 = 9/4-9/2-4 = 9/4-18/4-16/4 = -25/4
Ветви параболы направлены вверх, поэтому
Область значений E(Y) = [-25/4; +oo)
2) y = -x^2 - 2x + 3
Ограничений, перечисленных во вступлении, нет, поэтому
Область определения D(X) = R = (-oo; +oo)
Вершина параболы находится в точке M0(x0; y0)
x0 = -b/(2a) = 2/(-2) = -1; y0 = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4
Ветви параболы направлены вниз, поэтому
Область значений E(Y) = (-oo; 4]
3) y = 1/(x-1)
Здесь ограничение по 1 пункту: дробь. Знаменатель x ≠ 1, поэтому
Область определения: D(X) = (-oo; 1) U (1; +oo)
При х, стремящемся к бесконечно большим величинам, y стремится к 0.
Область значений: E(Y) = (-oo; 0) U (0; +oo)
4) y = (2+x)/(x+1) = (x+1+1)/(x+1) = 1 + 1/(x+1)
Здесь тоже ограничение по 1 пункту: дробь. Знаменатель x ≠ -1, поэтому
Область определения: D(X) = (-oo; -1) U (-1; +oo)
При х, стремящемся к бесконечно большим величинам, y стремится к 1.
Область значений: E(Y) = (-oo; 1) U (1; +oo)