Question

Найдите наибольшее значение функцииy=12·ln(x+2)−12x+7на отрезке[−1,5; 0].

Answer 1

____________________________

Answer 2

Для начала решим данную задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем значение функции при границах отрезка [−1,5; 0].
Для этого подставим значения x = −1,5 и x = 0 в формулу функции:
y = 12·ln(x+2)−12x+7.
Получим:
y1 = 12·ln((-1,5)+2)−12(-1,5)+7 = 12·ln(0,5) + 18 + 7 = 12·(-0,693) + 25 = -8,316 + 25 = 16,684;
y2 = 12·ln(0+2)−12(0)+7 = 12·ln(2) - 12·0 + 7 = 12·0,693 + 7 = 8,316 + 7 = 15,316.

Шаг 2: Теперь найдем значение функции внутри отрезка.
Для этого найдем точку, в которой производная функции равна нулю.
Для нашей функции это можно сделать, взяв производную функции и приравняв ее к нулю:
y = 12·ln(x+2)−12x+7;
y' = 12/x+2 - 12;
12/x+2 - 12 = 0;
12/x+2 = 12;
x+2 = 1;
x = -1.

Таким образом, найденная точка -1 является точкой экстремума нашей функции внутри отрезка [−1,5; 0].

Шаг 3: Теперь найдем значение функции в найденной точке экстремума.
Для этого подставим значение x = −1 в формулу функции:
y = 12·ln((-1)+2)−12(-1)+7 = 12·ln(1) + 12 + 7 = 12·0 + 12 + 7 = 0 + 12 + 7 = 19.

Шаг 4: Осталось найти максимальное значение функции на отрезке [−1,5; 0].
Максимальное значение функции может быть либо при границах отрезка, либо в точке экстремума. Сравним значения функции в найденных точках:
y1 = 16,684;
y2 = 15,316;
y3 = 19.

Таким образом, максимальное значение функции на отрезке [−1,5; 0] равно 19.

Обоснование ответа:
Мы нашли значения функции на границах и внутри отрезка, а также значение функции в точке экстремума. Сравнив эти значения, мы можем сделать вывод о том, что максимальное значение функции равно 19.

В итоге, наибольшее значение функции y=12·ln(x+2)−12x+7 на отрезке [−1,5; 0] равно 19.