Question

Найти производную модуля числа x при x не равном нулю а также производную дробной части числа {x}, интеграл модуля и дробной части

Answer 1

$y=|x|\\ y'=\frac{x}{|x|}\\$
интеграл от нее , известно что равен 
 $\int\limits { \frac{x^2}{2}*sgn(x)+C}$ , хотя по сути можно упрощение сделать. Это лишь формальности 

По формуле  
$(x)=x-[x]$ , где $[x]$ целая часть числа. 
 По свойству кусочных функций ,  сама дробная часть имеет период $T=1$ , это  видно из графика   . 
  И она очевидно разрывна , что уже говорит что у нее производная будет равна 
   ${x}'=1$ 
 Интеграл можно  "раздробить"  ориентируясь по графику , можно заметить то что площадь есть сумма площадей прямоугольных треугольников , длинами катетов равными 1 и 1 . 
 Если брать общее число каких то площадей , то тут суммарно не разберешься , если же какой та определенный кусок есть .
к примеру  от  $0$  до $"n"$ , то   площадь этих треугольников , равна   $\frac{1*1}{2}$ , если же  перейти к примеру  то 
 $\int\limits^n_0 \frac{[x]}{2}^2+\frac{(x)}{2}^2 +C$