Доказать, что если (x²+3)*(x²-10x+24)<0, то cos(x/2)<0 Доказательство: (x²+3)*(x²-10x+24)<0 x²+3>0 для любого х∈(-∞;+∞), т.к. х²-число неотрицательное и 3>0 Следовательно, x²-10x+24<0 (x-4)(x-6)<0
Решение: 1) ОДЗ для данной функции определено на всей числовой прямой (D(f) ∈ R) 2) Функция ни четна, ни нечетна 3) Точки пересечения с осью OX при x₁ = 0; x₂ = 3. Точки пересечения с осью OY в y = 0 4) (x-3)^2 в данной функции будет иметь постоянно положительный знак, т.к. оно находится под квадратом. Значит, знак всей функции зависит только от множителя x. Там, где x>0, функция положительна; соответственно, где x<0, там и y<0. 5) Мы нашли точки экстремума. Теперь найдем промежутки возрастания/убывания функции:
Доказательство:
(x²+3)*(x²-10x+24)<0
x²+3>0 для любого х∈(-∞;+∞), т.к. х²-число неотрицательное и 3>0
Следовательно,
x²-10x+24<0
(x-4)(x-6)<0
+ - +
46
x∈(4;6) => x/2 ∈(4/2;6/2)
x/2 ∈(2;3) => cos(x/2)∈(cos2;cos3) => cos(x/2) <0