Question

Корни многочлена 4-степени p(x) ,их в данном случае 4,составляют арифмитическую прогрессию причем каждый из этих корней представим в радикалах 2 степени.(это значит что его можно представить при только рац чисел и квадратных корней) докажите что корни многочлена p(x)+a (a-произвольное число )тоже представимы в радикалах 2 степени,если они существуют. при условии что все коэфиценты многочлена представимы в рад 2 степени.

Answer 1

$p(x)=a_{1}x^4+a_{2}x^3+a_{3}x^2+a_{4}x+a_{5}\\ x=\sqrt{x_{1}}\\ x=\sqrt{x_{1}}+b\\ x=\sqrt{x_{1}}+2b\\ x=\sqrt{x_{1}}+3b\\\\ p(x)+a=a_{1}x^4+a_{2}x^3+a_{3}x^2 + a_{4}x+a_{5}+a\\ y=\sqrt{y_{1}}\\ y=\sqrt{y_{2}}\\ y=\sqrt{y_{3}}\\ y=\sqrt{y_{4}}\\\\$

По теореме Виета для уравнение четвертой степени получаем соотношение   
$4\sqrt{x_{1}}+6b = -\frac{a_{2}}{a_{1}}\\ \sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+b)+\sqrt{x_{1}}$$(\sqrt{x_{1}}+2b)+\sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+3b)+(\sqrt{x_{1}}+b)(\sqrt{x_{1}}+2b)+...=\frac{a_{3}}{a_{1}}\\ \sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+b)(\sqrt{x_{1}}+2b)+\sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+2b)$$(\sqrt{x_{1}}+3b).........=-\frac{a_{4}}{a_{1}} \\ \sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+b)(\sqrt{x_{1}}+2b)$$(\sqrt{x_{1}}+3b)=\frac{a_{5}}{a_{1}}\\\\ \sqrt{y_{1}}+\sqrt{y_{2}}+\sqrt{y_{3}}+\sqrt{y_{4}}=-\frac{a_{2}}{a_{1}}\\$
\sqrt{y_{1}y_{2}}+\sqrt{y_{1}y_{3}}+\sqrt{y_{1}y_{4}}+\sqrt{y_{2}y_{3}}...+ = \frac{a_{3}}{a_{1}} \\ \sqrt{y_{1}y_{2}y_{3}}+\sqrt{y_{1}y_{2}y_{4}} [/tex]        

$\left \{ {{4\sqrt{x_{1}}+6b=\sqrt{y_{1}}+\sqrt{y_{2}}+\sqrt{y_{3}}+\sqrt{y_{4}} } \atop {\sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+b)(\sqrt{x_{1}}+2b)(\sqrt{x_{1}}+3b)-\sqrt{y_{1}y_{2}y_{3}y_{4}}=a} \right. \\$
Учитывая условия что коэффициенты все выражаются в радикалах , то  сумма всех корней выраженные в радикалах есть число радикальное . 
  По третьем  равенству первой системы  $\sqrt{x_{1}x_{2}x_{3}}=Rad$  , то произведение корней так же число радикальное , откуда с последних двух идет верное равенство