Три числа, среднее из которых равно 5, составляют арифметическую прогрессию. если среднее число уменьшить на 20 %, то полученные три числа составляют прогрессию. найдите сумму членов прогрессии
Три числа, среднее из которых равно 5, составляют арифметическую прогрессию ==> эти числа 5 - х, 5 , 5 + х.
Если среднее число уменьшить на 20 %, получим 4. и полученные три числа 5 - х, 4 , 5 + х составляют геометрическую прогрессию, т.е. 4 = 5 + х 5 - х 4 (5 - х )(5 + х ) = 16 25 - х² = 16 х² = 9 х = 3 или х = - 3 (прогресии (прогресии возрастающие) убывающие) Cумма членов геометрической прогрессии равна:
Обратим внимание, что выражения в скобках похожи. Обозначим выражение во второй скобке за t. Тогда получим t=x+1/x. Но вторую скобку заменить также "в лоб" мы не можем. Пойдём на небольшую хитрость. Возведём наше t в квадрат. Получим: t^2=x^2+2x*1/x+1/x^2=x^2+2+1/x^2. Получившееся значение уж больно похоже на то, что нам нужно. Всю картину портит только двойка справа. Но поскольку двойка балом не правит и никак не зависит от х, то просто перенесём её влево к нашему t^2. Тогда что мы имеем? А имеем мы вторую замену, поскольку только что выразили нашу первую скобку: x^2+1/x^2=t^2-2. Теперь собираем урожай и производим замену. Получаем: (t^2-2)+t=0 --> t^2+t-2=0. А это есть ни что иное как квадратное уравнение. Находим дискриминант: D=1-4*(-2)=1+8=9. И корни: t1= (-1+3)/2=1; t2=(-1-3)/2=-2 Делаем обратную замену. Вспомним, что наше t=x+1/x. Сначала подставим t1: x+1/x=1 | домножим на х x^2+1=x --> x^2-x+1=0. Получаем ещё одно квадратное уравнение, но уже относительно х. Находим его дискриминант: D=1-4<0. Дискриминант меньше нуля. Следовательно, корней нет. Теперь подставим t2: x+1/x=-2 |домножим на х x^2+1=-2x --> x^2+2x+1=0. Решим квадратное уравнение. Посчитаем дискриминант: D=4-4=0. Найдём корень уравнения. x=(-2+/-0)/2=-1 Теперь смотрим на наши квадратные уравнения относительно х (первое с t не трогаем). В первом квадратном уравнении у нас корней не было, во втором всего один. Он и является ответом ответ: х=-1
Если среднее число уменьшить на 20 %, получим 4.
и полученные три числа 5 - х, 4 , 5 + х составляют геометрическую прогрессию, т.е.
4 = 5 + х
5 - х 4
(5 - х )(5 + х ) = 16
25 - х² = 16
х² = 9
х = 3 или х = - 3
(прогресии (прогресии
возрастающие) убывающие)
Cумма членов геометрической прогрессии равна:
S = (5 - 3) + 4 + (5 +3) = 14
ответ: 14.