Question

Составьте уравнение той касательной к графику функции y=f(x),которая образует с осью x заданный угол альфа,если: а)f(x)=(1/корень из 3)*x^3 - 3*корень из 3*x, альфа=60градусов

Answer 1

Общий вид уравнения касательной: $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$

Вычислим производную функции:

$f'(x)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}x^3-3\sqrt{3}x\right)'=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot 3x^2-3\sqrt{3}=\sqrt{3}x^2-3\sqrt{3}$

Используя геометрический смысл производной

                           $f'(x_0)={\rm tg}\alpha$

получим

$\sqrt{3}x_0^2-3\sqrt{3}={\rm tg}60^\circ\\ \\ \sqrt{3}x_0^2-3\sqrt{3}=\sqrt{3}\\ \\ x_0^2-3=1\\ x_0^2=4\\ \\ x_0=\pm2$

Абсциссы точки касания: x0 = ±2.

Вычислим значение функций в точке х0=±2.

$f(\pm 2)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot (\pm8)\pm6\sqrt{3}=\mp\dfrac{10}{\sqrt{3}}$

Определим значение производной функции в точке x0=±2

$f'(\pm 2)=3\sqrt{3}\cdot (\pm 2)^2-3\sqrt{3}=\sqrt{3}$

Искомые уравнения касательных:

$y=\sqrt{3}(x\pm2)\pm\dfrac{10}{\sqrt{3}}$