Question

Использовать формулы кратных углов, суммы, разности и произведения, чтобы максимально сократить: 1) 3cos2x + 2sin4x + 16sin^3(x)*cosx=5 2) cos4x*cos5x=cos6x*cos7x 3) 3cosx + 4sinx=5sin5x 4) cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0 5) cos^2(x)+ cos^2(2x) + cos^2(3x)+ cos^2(4x)=2 (тут все косинусы во 2-ой степени)

Answer 1

Может, что то не правильно все примеры довольно сложные 
1)3cos2x + 2sin4x + 16sin^3(x)*cosx=5
3cos2x+4sin2x*cos2x+8sin2x*sin^2 x=5
3cos2x+4sin2x(cos2x+2sin^2 x)=5
3cos2x+4sin2x=5
3/5*cos2x+4/5sin2x=1
сosa=3/5; sina=4/5
сos(2x-a)=1
2x-a=2πk,k∈Z
2x=a+2πk,k∈Z
x=a/2+πk,k∈Z
x=(arccos3/5)/2+πk,k∈Z или x=(arcsin4/5)/2+πk,k∈Z 
ответ x=(arccos3/5)/2+πk,k∈Z или x=(arcsin4/5)/2+πk,k∈Z 
2) cos4x*cos5x=cos6x*cos7x
(cos9x+cosx)/2-(cos13x+cosx)/2=0
cos13x-cos9x=-2sin11x*sin2x=0
sin11x=0 или sin2x=0
11x= πk,k∈Z или 2x=πk,k∈Z
x=πk/11,k∈Z или x=πk/2,k∈Z
ответ x=πk/11,k∈Z или x=πk/2,k∈Z
3) 3cosx + 4sinx=5sin5x
3/5cosx+4/5sinx=sin5x
cosa=4/5 sina=3/5
sin(x+a)=sin5x
sin5x-sin(x+a)=2sin(5x-x-a)/2*cos(5x+x+a)/2=2sin(2x-a/2)*cos(3x+a/2)=0
2x-a/2=πk,k∈Z
2x=a/2+πk,k∈Z
x=a/4+πk/2 =(arccos4/5)/4+πk/2 или (arcsin3/5)/4+πk/2,k∈Z
cos(3x+a/2)=0
3x+a/2=π/2+πk,k∈Z
3x=π/2-a/2+πk,k∈Z
x=π/6-a/6+πk/3,k∈Z=π/6-(arccos4/5)/6+πk/3 или π/6-(arcsin3/5)/6+πk/3,k∈Z
ответ x=a/4+πk/2 =(arccos4/5)/4+πk/2 или (arcsin3/5)/4+πk/2,k∈Z;
x=π/6-a/6+πk/3,k∈Z=π/6-(arccos4/5)/6+πk/3 или π/6-(arcsin3/5)/6+πk/3,k∈Z
4) cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0
2cos2x*cosx+2cos2x*cosx=0
cosx*cos2x=0
x=π/2+πk,k∈Z
x=π/4+πk/2,k∈Z
ответ x=π/4+πk/2,k∈Z
5)cos^2(x)+ cos^2(2x) + cos^2(3x)+ cos^2(4x)=2 
(2cos2x*cosx)^2+(2cos2x*cosx)^2=2
cos^2 2x*cos^2 x=1/4
cos2x*cosx=+-1/2
x=+-π/3+2πk,k∈Z
x=+-2π/3+2πk,k∈Z
x=+-π/6+πk,k∈Z
x=+-π/3+πk,k∈Z
ответ x=+-2π/3+2πk,k∈Z
x=+-π/6+πk,k∈Z
x=+-π/3+πk,k∈Z