Question

(sin^2(п-а)+cos2a+sin(п/2 -а)) / (sin2а +cos(3п/2 -а)) = 1/2 ctg а доказать тождество

Answer 1

Выражение, представленное в условии, не является тождеством. В нём содержится опечатка.

Докажем, что тождеством является следующее выражение:

$\frac{sin^2(\pi-\alpha )+cos2\alpha +sin(\frac{\pi}{2}-\alpha )}{sin2\alpha +2cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha)}=\frac{1}{2}ctg\alpha$

Преобразуем левую часть.

Сначала воспользуемся формулами приведения:

$sin^2(\pi-a)=(sin(\pi-a))^2=(sina)^2=sin^2a\\\\sin(\frac{\pi}{2}-a)=cosa\\\\cos(\frac{3\pi}{2}+a)=sina$

Затем воспользуемся формулами двойного угла:

$sin2\alpha =2sin\alpha \cdot cos\alpha \\ \\ cos2\alpha =cos^2\alpha-sin^2\alpha$

И упростим выражение.

Получим:

$\frac{sin^2(\pi-\alpha )+cos2\alpha +sin(\frac{\pi}{2}-\alpha )}{sin2\alpha +2cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha)}=\frac{sin^2\alpha+cos2\alpha +cos\alpha }{sin2\alpha +2sin\alpha}=\\ \\=\frac{sin^2\alpha+cos^2\alpha-sin^2\alpha +cos\alpha }{2sin\alpha\cdot cos\alpha +2sin\alpha}=\frac{cos\alpha(cos\alpha+1)}{2sin\alpha(cos\alpha +1)}=\frac{1}{2} \cdot \frac{cos\alpha}{sin\alpha}=\frac{1}{2} ctg\alpha$

После преобразований левой части, получилась правая часть ⇒ Выражение является тождеством.

Что и требовалось доказать.