Question

Найдите наибольшее значение функции y= 4tgx-4x+п-7 на отрезке [-п/4; п/4].

Answer 1

_____________________________

Решено при использования формул:

( v + u )' = v' + u' — производная суммы

( tgx )' = 1/cos²x

ОТВЕТ: - 3

Answer 2

Найдем производную функцию:

$y'=(4tgx-4x+\pi -7)'=\frac{4}{\cos^2x} -4$

$\frac{4}{\cos^2x} -4=0~~|\cdot \cos ^2x\ne 0\\ 4-4\cos^2x=0\\ \cos^2x=1\\ \frac{1+\cos2x}{2}=1\\ \\ \cos2x=1\\ 2x=2\pi n,n \in \mathbb{Z}\\ x=\pi n,n \in \mathbb{Z}$

Отберем корни принадлежащие отрезку [-π/4; π/4].

Если n=0, то x=0

Найдем наибольшее значение функции на концах отрезка:

$y(-\frac{\pi}{4} )=4tg(-\frac{\pi}{4}) -4\cdot (-\frac{\pi}{4}) +\pi -7=-4\cdot1+\pi +\pi -7\approx-4.72\\ y(0)=4tg0-4\cdot0+\pi -7\approx-3.86\\ y(\frac{\pi}{4} )=4tg\frac{\pi}{4} -4\cdot\frac{\pi}{4} +\pi -7=4\cdot1-\pi +\pi -7=-3~~-\max$

Итак, $\displaystyle \max_{[-\frac{\pi}{4} ;\frac{\pi}{4} ]}y(x)=y\bigg(\frac{\pi}{4} \bigg)=-3$