Question

50 ! ! сколько корней имеет уравнение sin^2 x+ cos^2 2x+ cos^2(п/2+2x)cosxtgx=1 на промяжутке(0; 2п) ? сначала по форм , потом , представить в виде квадратного уравнения, посчитать его корни и дальше через производные. я застрял на квадратном, не получается корни посчитать.

Answer 1

$sin^2x+cos^22x+cos^2(\frac{\pi}{2}+2x)cosxtgx=1\\\\ sin^2x+cos^22x+sin^22x*sinx=1\\\\ sin^2x+(1-2sin^2x)^2+4sin^2x*cos^2x*sinx=1\\\\$
$sin^2x+(1-2sin^2x)^2+4sin^2x*cos^2x*sinx=1\\\\ sin^2x+(1-2sin^2x)^2+4sin^2x(1-sin^2x)*sinx=1\\\\ sinx=t\\\\ t^2(1-2t^2)^2+4t^2(1-t^2)*t=1\\\\ (t^2-1)(4t^4-4t^3+1)=0\\\\ t=+-1\\\\ 4t^4-4t^3+1=0\\\\$
  Рассмотрим функцию 
$f(t)=4t^4-4t^3+1 \\\\ f'(t)=16t^3-12t^2\\\\ 16t^3-12t^2=0\\\\ 4t^2(4t-3)=0\\\\ t=0\\\\ t=\frac{3}{4}\\\\$
 Так как область    определения функция $t \in (-\infty;+\infty)$ , на отрезке 
 $t \in (-\infty;\frac{3}{4}]\\\\ f'(t)<0$ , на отрезке  $t \in [ \frac{3}{4};+\infty)\\\\ f'(t)0$ возрастает . 
   Следовательно минимальное значение функций 
 $f(\frac{3}{4}) = \frac{37}{64}$. График не будет пересекать ось  $Ot$ . 
  Корни уравнения будут $t=+-1$ 
  $x=\pi\*k$ 
 откуда решения    $x \in \pi;$