Question

Решите уравнение сos10x_2sin^2 5x=2sinx на отрезке [0; п\2] при каком значении a уровнение x^4-8x^3-8x^2+96x+a= 0 имеет три ? важно!

Answer 1

$cos10x+2sin^25x=2sinx,\; \; [0,\frac{\pi}{2}]\\\\Formyla:\ sin^2 \alpha =\frac{1-cos2 \alpha }{2}\to \; cos2 \alpha =1-2sin^2 \alpha ,\; \alpha =5x,\; 2 \alpha =10x\\\\(1-2sin^25x)+2sin^25x=2sinx,\\\\2sinx=1\\\\sinx=\frac{1}{2},\\\\x=(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n,n\in Z\\\\x=\frac{\pi}{6}\in [0,\frac{\pi}{2}]$

$2)\quad x^4-8x^3-8x^2+96x+a=0\\\\f(x)=x^4-8x^3-8x^2+96x=-a\\\\f'(x)=4x^3-24x^2-19x+96=0\; \to \\\\f'(x)=(x-6)(4x^2-16)=4(x-6)(x-2)(x+2)=0\\\\x_1=-2,x_2=2,x_3=6\\\\- - - - -(-2)+ + + +(2)- - - -(6)++ + + +$

Там, где знак производной минус, там функция убывает, где  плюс, там возрастает.
Поэтому есть экстремумы.Минимумы при х=-2 и х=6, максимумы при х=2.Функция принимает значения    
  f(min)=f(-2)=f(6)=-144,  f(max)=f(2)=112
Тогда график будет иметь вид как у синусоиды (нетрудно по точкам построить самому) ; одна из точек пересечения с осью ОХ будет (0,0), другие 3 точки будут между  х=2 и х=6; после х=6 и перед х=-2. График функции у= -а  -  это прямая, параллельная оси ОХ. Пересечение графиков функций у=f(x)  и  у=-а    в трёх точках будет только для прямой  у=112, тогда  а= -112. И соответственно три решения будут при а= -112.