2sin2x-4cosx+3sinx-3=0
4sinxcosx-4cosx+3sinx-3=0 - используем формулу двойного угла (sin2x=2sinxcosx)
4cosx(sinx-1)+3(sinx-1)=0 - выносим 4cosx и 3 за скобки
(sinx-1)(4cosx+3)=0 - выносим общую скобку
1.
sinx-1=0
sinx=1
x=p/2+2pk; k принадлежит Z.
или
2.
4cosx+3=0
4cosx=-3
cosx=-3/4
x=+-arccos(3/4)+2pk; k принадлежит Z.
Т.к. нам нужны корни, принадлежащие интервалу [пи; 5пи/2], подставляем значения k в полученные уравнения:
1. При k=1, x=5p/2, что входит в нужный интервал, ибо скобки квадратные, т.е. включают в себя конечные точки.
2. Подставив k=1, получим х=arccos 3/4+2p; т.к. arccos 3/4 - это примерно 41 градус, то видим, что полученный корень так же входит в нужный нам интервал.
1)√(3-2x)=6+x;
Возводим в квадрат левую и правую часть уравнения:
(√(3-2x))²=(6+x)²;
3-2x=36+12x+х²;
36-3+12x+2x+х²=0;
х²+14х+33=0;
По теореме Виета: х₁=-3, х₂=-11.
Проверка:1)х₁=3, √(3-2·(-3))=6-3; 3=3(верно0
2) х₂=-11, √(3-2·(-11))=6-11; 5=-5 (не верно)
ответ: х=3.
2). 3^(x+1)+2*3^(x+2)=21;
3·3^(x)+2·3²·3^(x)=21;
3^(x)·(3+18)=21;
3^(x)=1;
3^(x)=3⁰;
х=0.
3)log₄(x^(2)+2x+49)=3;
по определению логарифма:
х²+2х+49=4³;
х²+2х+49-64=0;
х²+2х-15=0;
по т.Виета: х₁=3, х₂=-5.
Проверка: 1)х₁=3, log₄(3²+2·3+49)=3; log₄64=3, 4³=64(верно);
2)х₂=-5, log₄((-5)²+2·(-5)+49)=3; log₄64=3, 4³=64(верно).
ответ:х₁=3, х₂=-5.
а(n)-арифметическая прогрессия
an=a1+d(n-1)-формула n-ого члена прогрессии
a1=5, d=3,an=29
29=5+3(n-1)
29=5+3n-3
29=2+3n
29-2=3n
27=3n
n=9
a9=29