Question

Вычислить значение выражения cos2a - cos6a если cosa=1/√3

Answer 1

$\cos\alpha =\dfrac 1{\sqrt3};~~~~~\cos^2\alpha =\dfrac 13$

Основное тригонометрическое тождество  

sin²α + cos²α = 1      ⇒

$\sin^2\alpha= 1 - \cos^2\alpha =1-\dfrac 13=\dfrac 23$

$\cos(2\alpha )-\cos(6\alpha )=\\\\=2\sin \Big(\dfrac{6\alpha -2\alpha }2\Big)\cdot \sin \Big(\dfrac{2\alpha +6\alpha }2\Big)=\\\\=2\sin(2\alpha )\sin(4\alpha ) =\\= 2\sin(2\alpha )\cdot 2\sin(2\alpha )\cos(2\alpha )=\\\\=4\Big(\sin(2\alpha )\Big)^2\cos(2\alpha )=\\\\=4\Big(2\sin \alpha \cos \alpha \Big)^2(2\cos^2\alpha -1 )=\\\\=16\sin^2 \alpha \cos^2\alpha (2\cos^2\alpha -1)=$

$=16\cdot \dfrac 23 \cdot \dfrac 13\cdot \Big(2\cdot \dfrac 13 -1\Big)=\dfrac {32}9\cdot \Big(-\dfrac 13\Big)=\\\\\boxed{=\boldsymbol{-1\dfrac 5{27}}}$

---------------------------------------------------

Использованы формулы

sin (2α) = 2 sin α cos α

cos (2α) = 2 cos²α - 1

$\cos\alpha-\cos\beta=2\sin \Big(\dfrac{\beta -\alpha }2\Big)\cdot \sin \Big(\dfrac{\alpha +\beta }2\Big)$