Question

Исследовать на экстремум функцию: y=(1/3)x^3+(1/2)x^2-2x-1/3 определить точку перегиба и построить график функции.

Answer 1

$y=\frac{1}3*x^3+\frac{1}2*x^2-2x-\frac{1}3$

Чтобы найти экстремум функции, нужно сначала найти ее производную, и исследовать ее.

$y'=x^2+x-2$

$y'=0$

$x^2+x-2=0$

$D=1+8=9$

$x_1=\frac{-1+3}2=1$

$x_2=\frac{-1-3}2=-2$

Далее см. рисунок номер 1.

И того: x=1 - точка минимума.
x=-2 - точка максимума.

Чтобы найти точки перегиба нужно найти 2-ю производную и исследовать ее график.

$y''=(y')'=(x^2+x-2)'=2x+1$

$y''=0$

$2x+1=0$

$x=-\frac{1}2$  абсцисса точки перегиба.

$y(-\frac{1}2)=-\frac{1}3*\frac{1}8+\frac{1}2*\frac{1}4+\frac{2}2-\frac{1}3=-\frac{1}{24}+\frac{1}8+\frac{4}4-\frac{1}3=\frac{-1+3+24-8}{24}=\frac{3}4$

И того: точка перегиба:   $(\frac{1}2;\frac{3}4)$

Далее см. рисунок номер 2. (сам график)