Question

Прямая x+y=c , где с - некоторое число, касается гиперболы y=1/x в точке с положительными координатами. найдите с.

Answer 1

Выразим у из уравнения прямой:   у=-х+с,   с другой стороны у=1/х

Значит -х+с=1/х.

Умножаем обе части на х и получаем квадратное уравнение:

-х2+сх=1

х2-сх+1=0   Так как точка касания у нас одна, то уравнение должно иметь один корень (точнее, два одинаковых), т.е. дискриминант уравнения должен быть равен 0. Формула дискриминанта D=b2-4ас (общий вид квадратного уравнения ах2+bх+с=0, здесь а и b коэффициенты, с - свободный член)

D=с2-4=0, отсюда с=-2, с=2

Подставим значения с в наше квадратное уравнение, найдём х, а затем у:

1)с=-2, тогда х2+2х+1=0, (х+1)2=0, х=-1, у=1-2=-1.

Получилась точка с координатами (-1;-2) - не удовлетворяет условиям задачи

2)с=2, тогда х2-2х+1=0, (х-1)2=0, х=1, у=-1+2=1.

Получилась точка с координатами (1;1) - условия выполнено - точка имеет положительные координаты.

Значит, с=2

Answer 2

х+у=с         у=1:х

у=с-х            у=1:х

с-х=1:х     *х

сх-х^2-1=0

x^2-сх+1=0

D=с^2-4   т.к. прямая и гипербола касаются в одной положительной точке,то D=0

с^2-4=0

с=2              с=-2 - не удвл.условие задачи

ответ:с=2