Question

Углы и положительные, острые: ; найдите значение cos

Answer 1

По формуле суммы аргументов косинуса:
$cos( \alpha + \beta )=cos \alpha *cos \beta -sin \alpha *sin \beta$

Выразим $cos \beta$
$cos \beta = \frac{cos( \alpha + \beta )+sin \alpha *sin \beta }{cos \alpha }$

Необходимо найти синусы углов. Т.к. α и β - положительные и острые, значит они находятся в 1 четверти, где синус и косинус положительные. Найдем синусы из основного тригонометрического тождества:
$sin \alpha = \sqrt{1-cos^{2} \alpha }$
$sin \beta = \sqrt{1-cos^{2} \beta}$

$sin \alpha = \sqrt{1- \frac{1}{49} }= \sqrt{ \frac{48}{49} } = \frac{ \sqrt{48}}{7}$
$cos \beta = \frac{- \frac{11}{14} + \frac{ \sqrt{48}}{7}* \sqrt{1-cos^{2} \beta}}{ \frac{1}{7} } =- \frac{7*11}{14} + \frac{7* \sqrt{48}}{7}*\sqrt{1-cos^{2} \beta} =$$- \frac{11}{2} + \sqrt{48}* \sqrt{1-cos^{2} \beta }$

Перенесем слагаемые так, чтобы слева остался квадратный корень, а справа - все остальное:
$\sqrt{48*(1-cos^{2} \beta) } =cos \beta + \frac{11}{2}$

Возведем обе части в квадрат (можно сделать, т.к. обе части неотрицательные):
$48*(1-cos^{2} \beta )=cos^{2} \beta +11cos \beta + \frac{121}{4}$
$48*-48cos^{2} \beta- cos^{2} \beta -11cos \beta - \frac{121}{4}=0$
$-49cos^{2} \beta -11cos \beta + \frac{71}{4}=0$ - домножим обе части на -4
$196cos^{2} \beta +44cos \beta -71=0$

Замена: cosβ=t∈[0;1]
$196t^{2}+44t-71=0, D=57600=240^{2}$
$t_{1} = \frac{-44+240}{2*196} = \frac{1}{2}$
$t_{2}<0$ - посторонний корень.

ответ: cosβ=0.5