Question

Знайти найменше можливе значення суми x + y + z, де x, y,z − невід'ємні числа, що задовольняють умові (x − y)(y − z)(z − x) ≥1.

Answer 1

Так как $x;y;z \geq 0\\$ 
Положим что $y=0$  
Тогда нужно  найти минимальное   значение $x+z$  
  
 $xz(x-z) \geq 1\\ x^2z-xz^2 \geq 1\\ x^2z-xz^2-1 \geq 0\\ D=\sqrt{z^4+4z}\\ x \geq \frac{ z+\sqrt{\frac{z^3+4}{z}}}{2} \\ f(z) = z + \frac{z+\sqrt{\frac{z^3+4}{z}}}{2} \\ f(z) = \frac{3z + \sqrt{\frac{z^3+4}{z}}}{2} \\ f'(z) = 0.5\frac{z^3-2}{z^2 \sqrt{\frac{z^3+4}{z}}} + 1.5\\ 0.5(z^3-2)+1.5z^2\sqrt{\frac{z^3+4}{z}} = 0\\ z=\sqrt[3] { \frac{ 3\sqrt{3}-5}{2}}\\\\ f(z) = \sqrt[6]{108}$ 
 
 
 
 ответ $\sqrt[6]{108}$