Question

1)решить уравнение: (sin(пsinx))/sinx=0 2)решить уравнение: sin(пcosx)=0 3)решить ур: 2cos2x-sin5x=-3 4)решить ур: cos^4(x)+sin^4(x)=/sinx+cosx/

Answer 1

$1) \left \{ {{sin( \pi sinx)=0} \atop {sinx \neq 0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{ \pi sinx= \pi k} \atop {sinx \neq 0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{sinx=k} \atop {sinx \neq 0}} \right.$
k∈Z
| sin x |≤1, значит k=-1 или k=1
sin x =1,     x=π/2+2πn. n∈Z
sin x =-1,    x= -π/2 + 2πm, m∈Z

2)  π·cosx=πk, k∈Z
cosx=k, k∈Z
Функция у=cos x  ограничена, | cos x |≤1
при k=-1  cos x =-1,  x = π+2πn, n∈Z
при k=1    cos x=1,    x = 2πm, m∈Z
при k=0    cos x=0,    x = π/2+πl, l∈Z
3) В силу ограниченности  функций косинус и синус:
 -1≤cos2 x≤1
-2≤ 2cos 2x≤2  (1)

-1≤sin5x≤1
-1≤-sin5x≤1  (2)

Сложим (1) и (2)
-3≤2 cos 2x-sin5x≤3

Значит равенство -3 возможно лишь при

$\left \{ {{2cos2x=-2} \atop {sin5x=1}} \right. \Rightarrow \left \{ {{2x= \pi +2 \pi k} \atop {5x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n }} \right.$

k,n∈Z

$\left \{ {{x= \frac{ \pi }{2}+ \pi k, } \atop {x= \frac{ \pi }{10}+ \frac{ \pi }{5} n, }} \right.$

k,n∈Z

ответ. х=π/2+πk, k∈Z

4)  cos²x+sin²x=1
Возведём обе части в квадрат:
cos⁴ х+ 2 cos²x sin²x + sin ⁴x=1,
cos⁴x+sin⁴x=1-2cos²xsin²x
Данное уравнение примет вид:
1-2 sin²x cos²x=|sinx cos x|
Введём новую переменную:
| sin x cos x |= t, t>0
1-2t²-t=0 или
2t²+t-1=0
D=b²-4ac=1-4·2(-1)=9=3²
t₁=(-1-3)/4=-1 (не удовлетворяет условию t>0)    t₂=(-1+3)/4=1/2
|sinx cosx|=1/2 или | sin 2x |=1
а) sin2x=1   
2x=π/2+2πk, k∈Z  ⇒    x=π/4+πk, k∈Z
или
б) sin 2x =-1
2x=-π/2 +2πm, m∈Z  ⇒ x=-π/4 +πm, m∈Z
ответ  x=π/4+πk, x=-π/4 +πm,  k, m ∈Z