Question

Найдите все пары натуральных чисел х,у таких, что 2х+1 делится на у и 2у+1 делится на х

Answer 1

Решение, построенное на другой идее. Начнем с глупого утверждения.

Глупое утверждение. x и y взаимно просты.
Доказательство. Пусть x и y делятся на d > 1. Но тогда 2x + 1 должно делиться на d, а на самом деле дает остаток 1.

Теперь можно перемножить сравнения, получим, что
(2x + 1)(2y + 1) делится на xy.
4xy + 2(x + y) + 1 делится на xy
2(x + y) + 1 делится на xy

Из последнего следует, что 2(x + y) + 1 >= xy
xy - 2x - 2y <= 1
(x - 2)(y - 2) <= 5

Пусть для определенности x >= y. Тогда достаточно рассмотреть такие случаи:
1) y = 1. Тогда 3 делится на x, откуда x = 1 или x = 3.
2) y = 2. Тогда 5 делится на x, и единственная возможность для x - это x = 5. Проверка показывает, что это не решение: 11 не делится на 2.
3) y = 3. Тогда 7 делится на x, и единственная возможность для x - это x = 7. Проверка показывает, что это решение: 15 делится на 3.
4) y >= 4. Тогда x - 2 <= 5/2, т.е. x <= 4. Последнее невозможно в силу ограничений на x.

ответ. (1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 7), (7, 3).

Answer 2

Из  условия делимости n и k целые числа.
2x+1=yk
2y+1=xn
 Очевидна нечетность 2x+1  и 2y+1 откуда  n,k,x,y  нечетные числа
Выразим: x=(yk-1)/2
4y+2=2xn=(yk-1)n
4y+2=ykn-n
2+n=y(kn-4)
Из  симетрии  задачи:
2+k=x(nk-4)
Откуда  2+n  делится на nk-4
и 2+k  делится на nk-4
При k>7 n>7  2+n<nk-4   2+k <nk-4 ,что неверно тк  меньшее число не делится на большее.
Откуда:  k<=7  n<=7 В силу нечетности k и n верно  что k=1,3,5,7 n=1,3,5,7
1) При  k=7 и k=5 
Тогда  если n>1 2+n< kn-4 Что  невозможно тк меньшее   число не делится на большее.
То возможно только  n=1
k=7
2+n=kn-4
то y=2+n/kn-4=1
Подставим: 2+1=xn=x  x=3
(3;1)  решение. в  силу симетрии (1;3)  решение
k=5
при  n=1
2+n=3
kn-4=1       y=3  1+6=nx x=7  
(3;7) решение

2)k=3 
 при n>3
2+n<nk-4  что  невозможно
если n=3
верно  равенство
2+n=nk-4
y=1
Подставим: 2+1=nx=3x x=1
(1;1) решение
n=2
n+2=4 
nk-4=2
Делится то есть  у=4/2=2
Подставим: 2*2+1=xn  5=2x x=5/2  невозможно.
n=1
n+2=3
kn-4=-1  невозможно тк x>0
3)Cамый  замудренный  вариант.
k=1   n+2 должно  делится на  n-4  y=n+2/n-4=  n-4+6/n-4=1+6/n-4
то  есть n-4=1   n-4=2   n-4=3 n-4=6
То  есть возможны варианты:
n=5 y=7  n=6  y=4  n=7 y=3    n=10 x=2
НО  тк n<7 (при  n=7  это  и есть  вариант (1;3)) то возможны 1  два варианта
Подставим;
n=5 y=7
2*7+1=5x
15=5x
x=3  (7;3)   (3;7) решение
n=6  y=4
9=6x  Невозможно
ответ: (1;3),(3;1),(1;1),(7;3),(3;7)