Question

Докажите,что при каждом натуральном значении n выражение: 1)(2n+3)^3-(2n-1)^3+4 делится надокажите,что при каждом натуральном значении n выражение: 1)(2n+3)^3-(2n-1)^3+4 делится на 16 2)(5n+1)^3+(2n-1)^3-7n^3 делится на 21 ,с объяснением. 7 класс(так что с 8,9 и т.д. варианты решения не предлагать). где ^3,значит в третьей степени.

Answer 1

$1)\ (2n+3)^3-(2n-1)^3+4=$

$8n^3+36n^2+54n+27-8n^3+12n^2-6n+1+4=$

$48n^2+48n+32=16(3n^2+3n+2)\Rightarrow$ делится на 16

$2) (5n+1)^3+(2n-1)^3-7n^3=$

$125n^3+75n^2+15n+1+8n^3-12n^2+6n-1-7n^3=$

$126n^3+63n^2+21n=21(6n^3+3n^2+n)\Rightarrow$ делится на 21

Замечание. Мы воспользовались формулами

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3;\ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$