Question

Доказать что 1+13+13^2++13^2007 не делится на 7

Answer 1

Представим  каждое выражение в виде:
1+(14-1)+(14-1)^2+(14-1)^3+(14-1)^2007
в биноме ньютона   (a+b)^n каждый   из членов
кроме  b^n помножен  на a.
Это в целом   ясно я напишу
(x-a)(x-a)(x-a)*(x-a)
Ясно  что   все переумножения кроме (-a)^n будут помножены  на x
Таким   образом все члены    выражения  (14-1)^n делятся   на 14  и соответственно  на 7.     кроме последнего члена (-1)^n
Таким образом   если в нашей сумме   обозначить за S-сумму   всех членов кратных 7(она делится на 7  то получим:
S+1+(-1)^1 +(-1)^2+(-1)^3+(-1)^2007
S+1-1+1-1+1-1 число  2007  нечетное  то  все единици   взаимноуничтожаются
Но  тогда выходит   что это выражение равно S,то  есть делится на 7 !!  То  есть оказывается сумма делится на 7 а вот  при 2008 уже не  делилось бы.   Проверьте условие
S