Question

Решить дроби с корнями ((5+x)/(√5+x+√5))+((5-x)/(√5-√5-x))=7-2√5

Answer 1

Итак в чем суть идеи  (x≠0 )
Cначало  избавимся от иррациональности  в обоих частях уравнения.
(5+x)(√(5+x)-√5)/x +(5-x)(√5+√(5-x))/x=7-2√5
(5+x)(√(5+x)-√5)+ (5-x)(√5+√(5-x))=7x -2√5*x
Раскроем скобки и  приведем подобные слагаемые:
(5+x)√(5+x)-5√5-√5x+(5-x)√(5-x)+5√5-√5x=7x-2√5x
Ну  видно  что кое что уже сократится  уже получим  более симметричное уравнение:
(5+x)√(5+x)+(5-x)√(5-x)=7x
Если возвести в квадрат  то ничего хорошего из этого  не получится  из за удвоенного  произведения (25-x^2)/√(25-x^2)
То  поступим  так:  Cделаем замены
√(5+x)=a>=0
√(5-x)=b>=0
Откуда:
a^2+b^2=10
x=(a^2-b^2)/2
a^3+b^3=7/2 *(a^2-b^2)
(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)(7/2 *(a-b))
Ну  и выходит системка:
(a+b)(a^2-ab+b^2+7/2(b-a))=0
a^2+b^2=10
1)  a+b=0    a=-b
  2a^2=10
 a^2=5
5+x=5
x=0 (не подходит  по одз)
2) a^2-ab+b^2+7/2 *(b-a)=0
 a^2+b^2=10
Преобразуем нашу систему:
(b-a)^2+ab+7/2 *(b-a)=0
(b-a)^2+2ab=10
Сделаем еще 2 вс замены:
(b-a)=u
ab=v>0 (тк a>0 b>0)
u^2+v+7u/2=0
u^2+2v=10
 v=(10-u^2)/2
u^2+(10-u^2)/2+7u/2=0
2u^2+10-u^2+7u=0
u^2+7u+10=0
По  виету подбором:
u1=-5 v=-15/2 <0(не подходит)
u2=-2 v=3
Откуда верна система:
b-a=-2  a=2+b
ab=3
b(2+b)=3
b^2+2b-3=0
По  виету подбором:
b1=-3<0( не  подходит)  b2=1
Откуда : b=1  a=3
Ну  и наконец последний шаг:
√(5-x)=1
5-x=1
x=4
Можно проверить:
√(5+x)=3
 x=4  (но  это я так  на всякий случай :) )
ответ: x=4