Question

Доказать, что при любом x ∈ r, x^16-x^12+x^8-x+1> 0

Answer 1

$x^{16}-x^{12}+x^8-x+10$

Если $x \leq -1$, то имеем
$x^{16}-x^{12}+x^8-x+1 \geq x^8-x+1$
Отсюда 
$x^8-x+10$

Если $-1 \leq x \leq 0$, то имеем

$x^{16}-x^{12}+x^8-x+1 \geq x^{16}+x^8+1 \\ x^{16}+x^8+10$

Если $0 \leq x \leq 1$, то имеем

$x^{16}-x^{12}+x^8-x+1 \geq x^{16}-x+1 \\ x^{16}-x+1 \geq x^{16} \\ x^{16}0$

Если $x1,$ то 

$x^{16}-x^{12}+x^8-x+1x^8-x+1 \\ x^8-x+11 \\ 10$

Отсюда, во всех возможных , левая часть уравнение принимает только положиьельные значения, отсюда х - любое число

Что и требовалось доказать

Answer 2

Рассмотрим три случая:

1) x<0

При любом x<0 верно x^16+x^8>x^12 (т.к. все слагаемые положительны из-за чётной степени), а значит, x^16-x^12+x^8>0.
Осталось доказать, что -x+1>0. Перенесем -x в правую часть и получим x<1, что удовлетворяет нашему условию x<0, а значит,  -x+1>0.

Т.к.  x^16-x^12+x^8>0 и  -x+1>0, всё выражение больше 0.

2) x=0

Подставим x=0 в x^16-x^12+x^8-x+1>0 и получим верное неравенство 1>0, т.е. и в этом случае  всё выражение больше 0.

3) x>0

При любом x>0 верно x^16>x^12, а значит x^16-x^12>0.
Осталось доказать, что x^8-x+1>0. При любом x>0 x^8>x, а значит, x^8-x>0.
1>0.

Т.к.  x^16-x^12>0  и  x^8-x>0 и 1>0, всё выражение больше 0.

Т.е. при x∈R выражение больше 0