Question

Докажите, что 5а² - 4а + 2ав + в² +2 больше 0 при всех действительных значениях а и в

Answer 1

Приравняем к нулю

$5a^2-4a+2ab+b^2+2=0 \\ 5a^2+5a(-0.8+0.4b)+2+b^2=0 \\ 5(a+(-0.4+0.2b))^2+(-(0.8-0.8b+0.2b^2)+2+b^2)=0 \\ 5(a+(-0.4+0.2b))^2+(-0.8+0.8b-0.2b^2+2+b^2)=0 \\ 5(a+(-0.4+0.2b))^2+(0.8b^2+0.5b+1.2)=0 \\ 5(a+(-0.4+0.2b))^2+(0.8(b+0.5)^2-0.8*0.5^2+1.2)=0 \\ 5(a+(-0.4+0.2b))^2+(0.8(b+0.5)^2+1)=0 \\ 5(a-0.4+0.2b)^2+0.8(b+0.5)^2+1)=0$

Получаем упрощенное выражение

$5(a-0.4+0.2b)^2+0.8(b+0.5)^2+1=0$

Левая часть уравнения принимает только положительные значения.

Следовательно $5a^2-4a+2ab+b^2+20$ при действительных значения a и b

Что и требовалось доказать.