Question

1) 1+7 cos^2x=3sin2x с полным решением, чтобы хоть разобраться как решать

Answer 1

$1+7cos^2x=3sin2x$

Главные формулы
$sin^2x+cos^2x=1 \\ sin2x=2sinxcosx$

Упрощаем выражение
$sin^2x+cos^2x+7cos^2x=3\cdot2sinxcosx \\ \\ sin^2x-6sinxcosx+8cos^2x=0|:cos^2x \\ \frac{sin^2x}{cos^2x} -6 \frac{sinx}{cosx} +8=0$

Остюда видно что $\frac{sinx}{cosx}=tgx$

$tg^2x-6tgx+8=0$

Замена.

Пусть $tgx=t,(t\in R)$ тогда получаем

$t^2-6t+8=0$
Находим дискриминант
$D=b^2-4ac$, где $b=-6;a=1;c=8$
$D=(-6)^2-4\cdot1\cdot8=36-32=4; \sqrt{D} =2$

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения

$t_1_,_2= \frac{-b\pm \sqrt{D} }{2a} \\ \\ t_1= \frac{6+2}{2} =4;t_2= \frac{6-2}{2} =2$

Обратная замена

Значение тангенса - $x=arctg(a)+ \pi n, n\in Z$

$tgx=2 \\ x_1=arctg2+ \pi n,n\in Z \\ tgx=4 \\ x_2=arctg4+ \pi n, n\in Z$

Answer 2

$1+7 cos^2x=3sin2x$
$sin^2x+cos^2x+7 cos^2x=6sinxcosx$
$sin^2x+8cos^2x-6sinxcosx=0$ Делим на $cos^2x$≠0
$tg^2x+8-6tgx=0$
Введем замену пусть tgx=t
$t^2-6t+8=0$
$D=36-4*8=4$
$t_{1}= \frac{6-2}{2}=2$
$t_{2}= \frac{6+2}{2}=4$
Подставляем
tgx=2 и tgx=4
$x=arctg2+ \pi k$, k∈Z и
$x=arctg4+ \pi k$, k∈Z