Question

Для любого натурального числа n> 2 уравнение a^n+b^n=c^n не имеет решений в целых ненулевых числах a,b,c: докажите для n=3

Answer 1

Теорема гласит, что для любого натурального числа n > 2 уравнение
a^n+b^n=c^n
не имеет решений в целых ненулевых числах a, b и с.

Доказательство при n =3

$a^3+b^3=c^3 \\ a^3=c^3-b^3$
Отсюда разность кубов
$(c-b)(c^2+cb+b^2)$
Пусть c-b = x , отсюда выразим $c=x+b$ и $b=c-x$
Следовательно
$3x\cdot c^2 - 3x^2\cdotC - (a^3-x^3) = 0$
Число C будет целым только при условии, если:
$c=3n\cdot x^2$
Остюда: $12x\cdot a^3-3x^4=3n^2\cdot x^4$
а = X
X = а  -числа одинаковы

Число n - не четное
n=3; Получаем что $(1.91..)\cdot x$ - к приближонности

Если Х = А, то $X=(0.52..)\cdot a$

Вернёмся к уравнению $b=c-x$ отсюда, что $b=0$

Следовательно,  при C=K=A и при b=0 уравнение имеет решение в целых числах.
Таким образом, т. Ферма не имеет решения в целых положительных числах при показателе степени n=3.