Признак делимости на 11:
Заметим, что 10...0 (в числе четное число нулей) дает остаток 1 при делении на 11: например, 1000000 = 1 + 99 99 99, разность между такой степенью десятки и 1 разбивается на группы 99-ок и поэтому делится на 99 (и, соответственно, на 11).
Если в числе 10...0 нечетное число нулей, то оно будет давать остаток 10 при делении на 11: например, 10000000 = 10 + 99 99 99 0, так же и в любой другой степени, разность между числом и 10 будет содержать какое-то количество групп 99-ок и 0, разность делится на 11.
Осталось расписать число в виде суммы разрядных слагаемых:
и заметить, что эта сумма даёт такой же остаток при делении на 11, что и
В первой скобке стоит разность сумм цифр, стоящих на четных и на нечетных местах, второе слагаемое - делится на 11. Чтобы вся сумма делилась на 11, необходимо и достаточно, чтобы разность сумм цифр, стоящих на четных и на нечетных местах, делилась на 11.
Признак делимости на 13:
Число равно 10A + b, A - число, образованное всеми цифрами кроме последней, b - последняя цифра. Утверждается, что если сложить число десятков A с учетверенным числом единиц 4b, то полученная сумма A + 4b делится на 13 тогда же, когда и исходное число. Это следует из того, что (10A + b) + 3(A + 4b) = 13(A + b); если одно слагаемое делится на 13, то и второе обязано делиться на 13, так как вся сумма делится на 13.
1. ОДЗ: x ≠ 3
2. Если x ≠ 3, то рассмотрим два случая:
2.1. и числитель, и знаменатель больше нуля
Имеем систему: (√a - x) (√a + x) > 0 и x > 3
Решение системы будет следующим: при x > 3 x ∈ (- ∞; -√a) ∨ (√a; + ∞)
2.2 и числитель, и знаменатель меньше нуля
Имеем систему: (√a - x)(√a+x) < 0 и x < 3
Решение системы будет следующим: при x < 3, x ∈ (-√a; √а)
1. При x ≠ 3 - ∅
2. При x > 3 x ∈ (- ∞; -√a) ∨ (√a; + ∞)
3. При x < 3, x ∈ (-√a; √а)