Question

Найдите целые корни уравнения x^4+2x^3-5x^2-4x+6 =0

Answer 1

Подбором попробуем найти первый корень. Возьмём единицу. Важно, что мы берём в качестве потенциальных целых корней всегда те числа, которые нацело делят свободный член полинома.

$(1)^4 + 2(1)^3-5(1)^2-4(1)+6 = 1 + 2 - 5 - 4 + 6 = 0$

$x = 1$ - корень.

Делим на $x - 1$ (делиться будет по теореме Безу):

$x^4 + a_1x^3 + a_2x^2+ a_3x + a_4 = (x - 1)(x^3 + b_1x^2 + b_2x + b_3)\\\\a_4 = -b_3, \ b_3 = - a_4\\\\a_3= b_3 - b_2, \ a_3 = -a_4 - b_2, \ b_2 = -(a_3 + a_4)\\\\a_2 = b_2 - b_1, \ a_2 = -(a_3 + a_4) - b_1, \ b_1 = -(a_1 + a_2 + a_3)$

$x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 4x + 6 = (x - 1)(x^3+3x^2 - 2x - 6)$

$x^3+3x^2 - 2x - 6 = 0$

Подбором попробуем найти второй корень.

$(-3)^3 + 3(-3)^2 - 2(-3) - 6 = -27 + 27 + 6 - 6 = 0\\\\$

$x = -3$ - ещё один целый корень.

Делим на $x + 3$:

$x^3+a_1x^2 + a_2x + a_3 = (x + 3)(x^2 + b_1x + b_2)\\\\ a_3 = 3b_2, \ b_2 = \frac{1}{3}a_3\\\\ a_2 = b_2 + 3b_1, \ a_2 = \frac{1}{3}a_3 + 3b_1, \ 3b_1 = a_2 - \frac{1}{3}a_3$

$x^3+3x^2 - 2x - 6 = (x + 3)(x^2 - 2)\\\\ x^2 - 2 = 0\\\\ (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0\\\\ x = \pm\sqrt{2}$

Имеем, в итоге, два целых корня уравнения: -3 и 1.