Question

Докажите по индукции, что для любого натурального n выполняется равенство: 4+0++4*(2-n)=2n(3-n)

Answer 1

База индукции. При n=1 имеем
4=2*1*(3-1)

Гипотеза индукции. Пусть при $n=k \geq 1$ утверждение справедливо
т.е. выполняется равенство
$4+0+....+4(2-k)=2k(3-k)$

Индукционный переход. Докажем что тогда справедливо равенство для $n=k+1$

Т.е. что верно равенство
$4+0+....+4*(2-k)+4*(2-(k+1))=2*(k+1)(3-(k+1))$

$4+0+...+4*(2-k)+4*(2-(k+1))=$
используя гипотезу индукции
$2k(3-k)+4*(2-k-1))=2(3k-k^2)+2*2(1-k)=\\\\2(3k-k^2+2-2k)=\\\\2(k+2-k^2)=\\\\2(k+1+1-k^2)=$
используем формулу разности квадратов
$2((k+1)*1-(k+1)*(k-1))=2(k+1)(1-(k-1))=\\\\2(k+1)(2-k)=\\\\2(k+1)(3-(k+1))$

По принципу математической индукции утверждение верно для любого натурального n