Question

Решите : 1. 2sin^2x+sin2x+cos^2x=2,5 2. 2sinx+3cosx+3=0 3. корень из 3 sinx-cosx=1

Answer 1

1) $2sin^{2}x+sin2x+cos^{2}x=2.5$
$2sin^{2}x+2*sinx*cosx+cos^{2}x-2.5sin^{2}x-2.5cos^{2}x=0$
$-0.5sin^{2}x+2*sinx*cosx-1.5cos^{2}x=0$
$sin^{2}x-4*sinx*cosx+3cos^{2}x=0$ - разделим обе части на квадрат косинуса
$tg^{2}x-4*tgx+3=0$
Замена: $tgx=t$
$t^{2}-4t+3=0, D=16-4*3=40$
$t_{1}= \frac{4-2}{2}=1$
$t_{2}= \frac{4+2}{2}=3$
Вернемся к замене:
$tgx=1$
$x=arctg1+ \pi k= \frac{ \pi }{4}+ \pi k$ - ответ
$tgx=3$
$x=arctg3+ \pi k$ - ответ

2) $2sinx+3cosx+3=0$
$3=3sin^{2}(\frac{x}{2})+3cos^{2}(\frac{x}{2})$ - по основному тригонометрическому тождеству
$sinx=sin(2* \frac{x}{2})=2*sin(\frac{x}{2})*cos(\frac{x}{2})$ - синус двойного угла
$cosx=cos(2*\frac{x}{2})=cos^{2}(\frac{x}{2})-sin^{2}(\frac{x}{2})$ - косинус двойного угла
$2*2*sin(\frac{x}{2})*cos(\frac{x}{2})+3*cos^{2}(\frac{x}{2})-3sin^{2}(\frac{x}{2})+3sin^{2}(\frac{x}{2})+3cos^{2}(\frac{x}{2})=0$
$4*sin(\frac{x}{2})*cos(\frac{x}{2})+6cos^{2}(\frac{x}{2})=0$
$2cos(\frac{x}{2})*(2sin(\frac{x}{2})+3cos(\frac{x}{2}))=0$
а) $2cos(\frac{x}{2})=0$
$cos(\frac{x}{2})=0$
$\frac{x}{2}= \frac{ \pi }{2}+ \pi k$
$x= \pi+ 2\pi k$ - ответ
b) $2sin\frac{x}{2}+3cos\frac{x}{2}=0$
$2sin\frac{x}{2}=-3cos\frac{x}{2}$ - разделим обе части на 2cos(x/2)
$tg\frac{x}{2}=-1.5$
$\frac{x}{2}=arctg(-1.5)+ \pi k=-arctg(1.5)+ \pi k$
$x=-2arctg(1.5)+ 2\pi k$ - ответ

3) $\sqrt{3}*sinx-cosx=1$
$\sqrt{3}*(2*sin(\frac{x}{2})*cos(\frac{x}{2}))-cos^{2}(\frac{x}{2})+sin^{2}(\frac{x}{2})-sin^{2}(\frac{x}{2})-cos^{2}(\frac{x}{2})=0$
$2\sqrt{3}*sin(\frac{x}{2})*cos(\frac{x}{2})-2cos^{2}(\frac{x}{2})=0$
$2cos(\frac{x}{2})*(\sqrt{3}*sin(\frac{x}{2})-cos(\frac{x}{2}))=0$
a) $2cos\frac{x}{2}=0$
$\frac{x}{2}= \frac{ \pi }{2}+ \pi k$
$x=\pi+ 2\pi k$ - ответ
b) $\sqrt{3}*sin(\frac{x}{2})-cos(\frac{x}{2})=0$
$\sqrt{3}*sin\frac{x}{2}=cos\frac{x}{2}$
$tg\frac{x}{2}= \frac{1}{\sqrt{3}}= \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{x}{2}=\frac{ \pi }{6}+ \pi k$
$x=2* \frac{ \pi }{6} + 2\pi k$
$x=\frac{ \pi }{3} + 2\pi k$ - ответ