Question

За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом 11 1/9% и, наконец, 12,5% в месяц. известно, что под действием новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на 104 1/6%. определите срок хранения вклада. (никольский. 10 класс.)

Answer 1

Обозначим сумму вклада через х, тогда по истечении срока вклада на счету стало [сумма вклада] + [проценты] = 100% от х + 104 1/6% от х = 204 1/6% от х. Избавимся от процентов:
$\frac{204\frac{1}{6}}{100}x=\frac{1225}{600}x$

Пусть вклад находился под ставкой 5% k месяцев, тогда по истечении этих месяцев сумма вклада стала равна $(\frac{105}{100})^k$.

Продолжая подобные рассуждения, получаем итоговую сумму вклада:
$(\frac{105}{100})^k*(\frac{112}{100})^l*(\frac{111 \frac{1}{9}}{100})^m*(\frac{112,5}{100})^n=\frac{1225}{600}\\(\frac{21}{20})^k*(\frac{28}{25})^l*(\frac{10}{9})^m*(\frac{9}{8})^n=\frac{49}{24}\\\frac{7^k*3^k*7^l*2^{2l}*2^m*5^m*3^{2n}}{2^{2k}*5^k*5^{2l}*3^{2m}*2^{3n}}=\frac{7^2}{3*2^3}\\7^{k+l}*3^{k+2n-2m}*2^{2l+m-2k-3n}*5^{m-k-2l}=7^{2}*3^{-1}*2^{-3}*5^{0}$

Продолжаем:
$7^{k+l}*3^{k+2n-2m}*2^{2l+m-2k-3n}*5^{m-k-2l}=7^{2}*3^{-1}*2^{-3}*5^{0}\\k+l=2;k+2n-2m=-1;2l+m-2k-3n=-3;m-k-2l=0$

Из первого k=1, l=1 (так как все степени - натуральные положительные числа), дальше получаем m=3, n=2.

Срок хранения вклада: 1 + 1 + 3 + 2 = 7 месяцев.