Question

Докажите, что при любом натуральном значении n выполняет равенство: 1^2+2^2+3^2+= n(n+1)(2n+1) 6

Answer 1

Доказательство методом математической индукции
База индукции. При n=1 утверждение справедливо.
Действительно $1^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Гипотеза индукции. Пусть утверждение выполняется для некоторого натурального n=k, т.е. верно равенство
$1^2+2^2+3^2+...+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

Индукционный переход. Докажем что тогда утверждение справедливо при n=k+1, т.е. что справедливо равенство
$1^2+2^2+3^2+..+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}$
или переписав правую сторону равенства, предварительно упростив
$1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

$1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=$
используем гипотезу
$\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2=\\\\(k+1)(\frac{k(2k+1)}{6}+(k+1)}=\\\\(k+1)(\frac{2k^2+k+6k+6}{6}=\\\\\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}=\\\\\frac{(k+1)(2k^2+4k+3k+6)}{6}=\\\\\frac{(k+1)((2k^2+4k)+(3k+6))}{6}=\\\\\frac{(k+1)(2k(k+2)+3(k+2)}{6}=\\\\\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

Согласно принципу математической индукции данное утверждение справедливо для любого натурального n. Доказано