Question

Решите следующее : 1) какую кратность имеет корень 2 для многочлена p(x)=x^5-5x^4+7x^3-2x^2+4x-8

Answer 1

Если $a$ – есть целый корень кратности $k$ многочлена $P(x)$, то многочлен будет делиться нацело на $(x - a)^k$ и не будет делиться нацело на $(x - a)^{k + 1}$ (это следует из теоремы Безу).
Свободный член многочлена делится на все целые корни уравнения (это следует из теоремы Безу). Следовательно, если корень $a$ является целым корнем многочлена, то свободный его член (равный $P(0)$) должен делиться на $a^k$. Число $-8$ делится нацело на $2^3 = 8$ (на число $2^4 = 16$ нацело не делится): значит кратность корня $2$ не может превышать $3$.
Сперва убедимся, что $2$ вообще является корнем этого многочлена:
$P(2) = 32 - 5*16 + 7*8 - 2*4 + 4*2 - 8 = 0$
Является, т.к. при подстановке многочлен обращается в ноль.
Поделим многочлен $P(x)$ на $(x - 2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ – если поделится, то корень 2 имеет кратность $3$:

$P(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8$

$\begin{array}{cccccc@{\;}|cccc} x^5&-5x^4& +7x^3 & -2x^2&+4x&-8&x^3& - 6x^2&+12x& -8\\ \cline{7-10} x^5&-6x^4& +12x^3& -8x^2&&&x^2& + x& +1& \\ \cline{1-4} &x^4&-5x^3&+6x^2&+4x&-8&&&&\\ &x^4&-6x^3&+12x^2&-8x&&&&&\\ \cline{2-5} &&x^3&-6x^2&+12x&-8&&&&\\ &&x^3&-6x^2&+12x&-8&&&&\\ \cline{3-6} &&&&&0&&&&\\ \end{array}$

Т.к. деление выполнилось нацело, то мы можем сказать, что корень имеет кратность $3$ (из-за того, что свободный член не делится на $2^4$ нам не надо проверять делимость многочлена на $(x - 2)^4$ ).

Если бы деление нацело на $(x - 2)^3$ не вышло, нам пришлось бы делить многочлен на $(x - 2)^2$ и т.д.

ответ: $2$ корень $P(x)$ кратности $3$.