Question

.(Вычислить определенный интеграл от функции e^cx cosωx на отрезке [a, b], где a=[π/ω, b=π/2ω]. c=4; ω=7).

Answer 1

Пока займемся вычислением неопр. интеграла:

I = $\int{e^{cx}coswx}\, dx\ =\ \frac{1}{c}\int{coswx}\, de^{cx}\ =\ \frac{1}{c}e^{cx}coswx\ +\ \frac{w}{c}\int{e^{cx}sinwx}\, dx\ =\\\ =\ \frac{1}{c}e^{cx}coswx\ -\ \frac{w}{c^2}\int{sinwx}\, de^{cx}\ =$

$=\ \frac{1}{c}e^{cx}coswx\ +\ \frac{w}{c^2}e^{cx}sinwx\ -\ \frac{w^2}{c^2}*\ I$

Отсюда находим I:

$I\ =\ \frac{e^{cx}(c*coswx+w*sinwx)}{c^2+w^2}$

Подставив значения с и w:

$I\ =\ \frac{e^{4x}(4cos7x+7sin7x)}{65}$

Теперь найдем значение интеграла от П/w до П/2w:

$I\ =\ \frac{e^{2\pi/7}(7+4e^{2\pi/7})}{65}$

Answer 2

Интеграл берется двукратным последовательным интегрированием по частям. 1-раз u(x)=e^cx; dv=(cosωx)dx;

2-й раз u1(x)=(c/ω)*e^cx;dv=(sinωx)dx;

с последующим упрощением выражения ( приведение подобных членов).

Определенный интеграл вычисляется из неопределенного путем вычитания

его значения при нижней границе из значения при верхней границе интегрирования.

  ответ в общем виде таков:

$\frac{\omega}{(c^2)+(\omega^2)}*e^{\pi*c/2*\omega}+\frac{c}{(c^2)+(\omega^2)}*e^{\pi*c/\omega}$

После подстановки конкретных значений "с" и "омега", имеем:

(4/65)* e^((4/7)*pi)+(7/65)*e^((2/7)*pi) = 0,63475